第4节随机事件、频率与概率

课标要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.



【知识梳理】

1.样本空间和样本点

(1)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用ω表示.

(2)样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用Ω表示.

(3)有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.

2.随机事件、必然事件与不可能事件

(1)定义:将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.

常用大写字母A,B,C,…表示.当且仅当某个样本点出现时,称为事件A发生.

(2)随机事件的特殊情形:必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件?(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点).

3.事件的关系和运算



含义

符号表示

包含关系

若事件A发生,则事件B一定发生

A?B

相等关系

B?A且A?B

A=B

并事件(和事件)

事件A与事件B至少有一个发生

A∪B或

A+B

交事件(积事件)

事件A与事件B同时发生

A∩B或AB

互斥(互不相容)

事件A与事件B不能同时发生

A∩B=?

互为对立

事件A与事件B有且仅有一个发生

A∩B=?,

且A∪B=Ω

4.概率与频率

(1)概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值).

(2)频率与概率的关系:随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),称频率的这个性质为频率的稳定性.可以用频率fn(A)估计概率P(A).

[常用结论与微点提醒]

从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.()

(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.()

(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

解析随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,故(1)错误.(4)中,甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.

2.(人教A必修二P235T1原题)某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是()

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没有中靶

答案D

解析连续射击两次中靶的情况如下:①两次都中靶;②只有一次中靶;③两次都没有中靶,故选D.

3.(北师大必修一P194A组T2改编)下列说法正确的是()

A.互斥事件与对立事件含义相同

B.互斥事件必是对立事件

C.对立事件必是互斥事件

D.对立事件可以是互斥事件,也可以不是互斥事件

答案C

解析互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.

4.(苏教必修二P287T16改编)全班50名学生每人抛掷20枚图钉,最后对全班统计钉尖朝上的频数为782次,由此估计钉尖朝上的概率为.

答案0.782

解析总共50×20=1000次,

从全班情况看频率为7821000=0.782,

由此估计钉尖朝上的概率为0.782.



考点一随机事件与样本空间

例1(2025·泰安调研)在某届足球赛上,a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛.在第一轮的两场比赛中,a对b,c对d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛,这两场比赛的负者比赛,决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b,c胜d,然后a胜c,b胜d).

(1)写出比赛所有可能的结果构成的样本空间;

(2)设事件A表示“a队获得冠军”,写出A包含的所有可能结果;

(3)设事件B表示“a队进入冠亚军决赛”,写出B包含的所有可能结果.

解(1)第一轮的两场比赛中,当a,c胜出时,比赛最终可能结果为acbd,acdb,cabd,cadb;

第一轮的两场比赛中,当a,d胜出时,比赛最终可能结果为adbc,adcb,dabc,dacb;

第一轮的两场比赛中,当b,c胜出时,比赛最终可能结果为bcad,bcda,cbad,cbda;

第一轮的两场比赛中,当b,d胜出时,比赛最终可能结果为bdac,bdca,dbac,dbca.

则比赛所有可能的结果构成的样本空间为Ω={acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb,bcad,bcda,cbad,cbda,bdac,bdca,dbac,dbca}.

(2)A包含的所有可能结果为acbd,acdb,adbc,adcb.

(3)B包含的所有可能结果为acbd,acdb,cabd,cadb,adbc,adcb,dabc,dacb.

思维建模确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件.

(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.

训练1(1)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为()

A.5B.6

C.7D.8

答案D

解析因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红),(红,黑,黑),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.

(2)在1,2,3,…,10这十个数字中,任取三个不同的数字,那么“这三个数字的和大于5”这一事件是.(填“必然事件”或“不可能事件”)

答案 必然事件

解析从1,2,3,…,10这十个数字中任取三个不同的数字,那么这三个数字和的最小值为1+2+3=...