第4节 函数的对称性及应用

课标要求1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.



【知识梳理】

1.奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.

(2)若f(x-2)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x=-2;若f(x-2)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中心为(-2,0).

2.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x);

若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点(a,0)对称.

3.两个函数图象的对称

(1)函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称;

(2)函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称;

(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称.

[常用结论与微点提醒]

对称性的四个常用结论

(1)y=f(x+a)是偶函数?f(a+x)=f(a-x)?y=f(x)的图象关于x=a对称.

(2)y=f(x+a)是奇函数?f(a+x)=-f(a-x)?y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.

(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.

特别地,当a=b时,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b=0时,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.()

(2)函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.()

(3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0,则f(x)的图象关于y轴对称.()

(4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

解析(2)函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称.

(3)由函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0可得f(x-1)=-f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(-x)≠f(x),故f(x)的图象不关于y轴对称.

2.(人教A必修一P87T13改编)函数f(x)=x+1x图象的对称中心为()

A.(0,0)B.(0,1)

C.(1,0)D.(1,1)

答案B

解析因为f(x)=x+1x=1+1x,

由y=1x向上平移一个单位长度得到y=1+1x,

又y=1x关于(0,0)对称,

所以f(x)=1+1x的图象关于(0,1)对称.

3.已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=.

答案4

解析法一由y=f(x+2)-3是奇函数,

∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,

令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,

得f(0)=4.

法二由y=f(x+2)-3是奇函数,

得f(x)关于(2,3)对称,

故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4.

4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=.

答案5

解析∵f(x)为偶函数,

∴f(-1)=f(1),

由f(x)的图象关于x=2对称,

可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,

∴f(-1)=5.





考点一函数的对称性

例1(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)=1x+aln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f1x关于直线x=b对称?若存在,求a,b的值;若不存在,说明理由.

解假设存在a,b,使得曲线y=f1x关于直线x=b对称.

令g(x)=f1x=(x+a)ln1+1x

=(x+a)lnx+1x,

因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,

所以g(x)=g(2b-x),

即(x+a)lnx+1x=(2b-x+a)ln2b-x+12b-x

=(x-2b-a)lnx-2bx-2b-1,

于是a=-2b-a,1=-2b,得a=12,b=-12,

当a=12,b=-12时,g(x)=x+12ln1+1x,

g(-1-x)=-x-12ln-x-1-x

=-x-12lnx1+x=x+12lnx+1x

=x+12ln1+1x=g(x),

所以曲线y=g(x)关于直线x=-12对称,满足题意.

故存在a,b,使得曲线y=f1x关于直线x=b对称,且a=12,b=-12.

思维建模1.函数y=f(x)关于直线x=a对称?f(a+x)=f(a-x),或f(2a+x)=f(-x).

2.函数y=f(x)关于点(a,b)对称?f(2a-x)+f(x)=2b或f(a-x)+f(a+x)=2b.

3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b-a2对称.

训练1(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=lnx2-x+ax+b(x-1)3.

证明:曲线y=f(x)是中心对称图形.

证明法一f(2-x)=ln2-xx+a(2-x)+b(1-x)3

=-lnx2-x-ax-b(x-1)3+2a

=-f(x)+2a,

故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.

法二∵f(x)=lnx2-x+ax+b(x-1)3,x∈(0,2),

∴f(x+1)=ln1+x1-x+ax+a+bx3,x∈(-1,1).

令g(x)=f(x+1)-a=ln1+x1-x+ax+bx3,x∈(-1,1),

则g(-x)=ln1-x1+x-ax-bx3=-ln1+x1-x-ax-bx3=-g(x),

∴g(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,其图象关于坐标原点O对称.

又∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移a个单位长度得到,

∴曲线y=f(x)是中心对称图形.

考点二对称性与周期性

例2(1)(2025·海口调研)已知函数f(x)的定义域为R,fx+12为偶函数,f(2-x)+f(x)=0,f13=-12,则f163=()

A.12B.13

C.0D.-12

答案A

解析因为fx+12为偶函数,

所以f-x+12=fx+12,

所以f(-x+2)=f(x-1),

因为f(2-x)+f(x)=0,

所以f(x-1)+f(x)=0,

即f(x)=-f(x-1),

所以f(x-1)=-f(x-2),

故f(x)=f(x-2),

故函数f(x)的一个周期为2,

故f163=f-23+6=f-23.

由f(x-1)+f(x)=0,

令x=13得,f-23+f13=0,

因为f13=-12,所以f-23=12,

故f163=f-23=12.

(2)(多选)(2025·安徽名校联考)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则()

A.f(-x)+f(x)=0B.f(2026)=-5

C.g(2026)=-1D.2026∑k=1f(k)=2020

答案BD

解析由题意知f(x)-4=g(2+x),

g...