第4节 向量中的最值(范围)问题

题型分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.

题型一与系数有关的最值(范围)

例1(2025·安徽六校测试)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在BC上,且AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为.



答案3+22

解析如图,以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,



则A(-1,2),B(-1,0),C(1,0),D(1,2),

则AD=(2,0),AB=(0,-2),

设P(cosθ,sinθ),θ∈[π,2π],

则AP=(cosθ+1,sinθ-2),

∵AP=λAB+μAD,

∴(cosθ+1,sinθ-2)=λ(0,-2)+μ(2,0),

∴cosθ+1=2μ,sinθ-2=-2λ,解得μ=cosθ+12,λ=2-sinθ2,

则λ+μ=2-sinθ2+cosθ+12

=12(cosθ-sinθ+3)=122cosθ+π4+3,

由θ∈[π,2π],得θ+π4∈5π4,9π4,

所以当θ+π4=2π时,

cosθ+π4取得最大值1,

则λ+μ的最大值为3+22.

思维建模此类问题的一般解题步骤是

第一步:利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系;

第二步:运用基本不等式或函数的性质求其最值.

训练1(2025·深圳调研)设点A(-2,0),B-12,0,C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且AP=λAB+μAC,则λ+2μ的最大值为.

答案22+43

解析设P(x,y),则PA=(-2-x,-y),PB=-12-x,-y,

由|PA|=2|PB|,

得(-2-x)2+(-y)2

=2-12-x2+(-y)2,

整理,得x2+y2=1,

将AP=(x+2,y),AB=32,0,AC=(2,1)

代入AP=λAB+μAC得x+2=32λ+2μ,y=μ,

则x+y+2=32λ+3μ=32(λ+2μ),

所以λ+2μ=23(x+y+2),

由1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,

当且仅当x=y时等号成立,

所以(x+y)2=x2+2xy+y2≤1+1=2,

得x+y≤2,当且仅当x=y时等号成立,

所以λ+2μ=23(x+y+2)≤23×(2+2)=22+43,即λ+2μ的最大值为22+43.

题型二与数量积有关的最值(范围)

例2(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中,E为线段CD的三等分点,CE=12DE,BE=λBA+μBC,则λ+μ=;F为线段BE上的动点,G为AF的中点,则AF·DG的最小值为.

答案43-518

解析以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,



则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E23,1,

所以BE=-13,1,BA=(-1,0),BC=(0,1),

因为BE=λBA+μBC,

所以-13,1=λ(-1,0)+μ(0,1),

所以λ=13,μ=1,所以λ+μ=43.

由B(1,0),E23,1可得直线BE的方程为

y=-3(x-1),

设F(a,3-3a)23≤a≤1,则Ga2,3-3a2,

所以AF=(a,3-3a),DG=a2,1-3a2,

所以AF·DG=a·a2+(3-3a)·1-3a2

=5a2-6a+32=5a-352-310,

所以当a=23时,AF·DG取得最小值,为-518.

思维建模数量积最值(范围)的解法:

(1)坐标法,通过建立直角坐标系,运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.

(2)向量法,运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.

训练2(2025·杭州调研)如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,AB·AC=3,D是BC的中点,点E在边AC上,3AE=AC,BE交AD于点F.设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=;若G是线段BC上的一个动点,则BF·FG的最大值为.



答案-12916

解析取EC的中点M,连接DM.



因为AC=3AE,

所以AE=EM=MC,

又因为BD=CD,

则DM为△BCE的中位线,所以DM∥BE.

因为AE=EM,所以EF为△ADM的中位线,

所以DF=12AD,

所以BF=BD+DF=12BC-12AD=12(AC-AB)-14(AB+AC)=-34AB+14AC.

因为BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),

所以λ=-34,μ=14,

所以λ+μ=-12.

因为G是线段BC上的一个动点,

所以设BG=tBC(0≤t≤1),

所以FG=BG-BF=tBC-BF

=t(AC-AB)--34AB+14AC

=34-tAB+t-14AC,

所以BF·FG=-34AB+14AC·[34-tAB+t-14AC]

=34t-916AB2+38-tAB·AC+t4-116·AC2

=3t-94+98-3t+94t-916=94t-2716,

当t=1时,BF·FG有最大值,且最大值为916.

题型三与模有关的最值(范围)

例3(2025·北京部分区模拟)已知平行四边形ABCD的面积为63,∠BAD=2π3,且BE=2EC.若F为线段DE上的动点,且AF=λAB+56AD,则实数λ的值为;|AF|的最小值为.

答案125

解析AF=λAB+56AD

=λ(AE+EB)+56AD

=λAE+56-23λAD,

由D,F,E三点共线,得λ+56-23λ=1,

解得λ=12.

过点A作AG⊥BC于点G,以G为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,



设B(-a,0),a>0,则A(0,3a),

已知?ABCD的面积为63,

则|BC|=6a,故C6a-a,0,D6a,3a,

则AB=(-a,-3a),AD=6a,0,

所以AF=56AD+12AB=5a-a2,-32a,

则|AF|2=5a-a22+34a2

=25a2+a2-5≥225a2·a2-5=5,

当且仅当25a2=a2,即a=5时取“=”,

所以|AF|的最小值为5.

思维建模求向量模的最值(范围)的方法,通常有:

(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,或通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标表示;需要构造不等式,利用基本不等式,三角函数,再用求最值的方法求解;

(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,注意题目中所给的垂直、平行,以及其他数量关系,合理的转化,使得过程更加简单;结合动点表示的图形求解.

训练3(2025·中山调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=3,a·b=-32,=30°,则|c|的最大值为()

A.27B.7

C.2D.2

答案A

解析设OA=a,OB=b,OC=c,

则a-c=CA,b-c=CB,

由题意cos=a·b|a||b|=-32,

而0°≤≤...