第4节 基本不等式

课标要求1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.



【知识梳理】

1.基本不等式:ab≤a+b2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.

(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.

(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.

(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.

[常用结论与微点提醒]

1.ab≤a+b22≤a2+b22.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.

2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤a+b22与a+b2≥ab成立的条件是相同的.()

(2)函数y=x+1x的最小值是2.()

(3)函数y=sinx+4sinx,x∈0,π2的最小值是4.()

(4)“x>0且y>0”是“yx+xy≥2”的充要条件.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)不等式ab≤a+b22成立的条件是a,b∈R,a+b2≥ab成立的条件是a≥0,b≥0.

(2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),

故函数y=x+1x无最小值.

(3)由于sinx=4sinx时sinx=2无解,

故sinx+4sinx的最小值不为4.

(4)“yx+xy≥2”的充要条件是“xy>0”.



2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+1x-1的最小值为.

答案3

解析x+1x-1=x-1+1x-1+1

≥2(x-1)·1x-1+1=3,

当且仅当x-1=1x-1,即x=2时等号成立.

3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为.

答案9

解析由ab=a+b+3≥2ab+3,得ab-2ab-3≥0,解得ab≥3(ab≤-1舍去),

即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号.

4.(北师大必修一P28实例分析)把一段长为16cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为cm,宽为cm时,面积最大.

答案44

解析设矩形的长为xcm,宽为ycm,

则x+y=8,其面积S=xy≤x+y22=16,

当且仅当x=y=4时等号成立.





考点一利用基本不等式求最值

角度1配凑法

例1(1)已知a,b为正数,4a2+b2=7,则a1+b2的最大值为()

A.7B.3

C.22D.2

答案D

解析因为4a2+b2=7,则a1+b2=12×2a×1+b2=124a2(1+b2)≤12×4a2+1+b22=2,

当且仅当4a2=1+b2,且4a2+b2=7,

即a=1,b=3时,等号成立.

(2)若a>-1,则a2a+1的最小值是.

答案0

解析法一由a>-1可得a+1>0,

则a2a+1=a2-1+1a+1=a-1+1a+1=a+1+1a+1-2≥2(a+1)·1a+1-2=0,

当且仅当a+1=1a+1,即a=0时等号成立.

法二由a>-1可得a+1>0,a2≥0,

则a2a+1≥0,当a=0时取等号.

角度2常数代换法

例2(2025·安徽A10联盟质检)已知m,n∈(0,+∞),1m+n=4,则m+9n的最小值为()

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析?m,n∈(0,+∞),

m+9n=14m+9n1m+n=1410+mn+9mn

≥1410+2mn·9mn=4,

当且仅当mn=9mn,且1m+n=4,

即m=1,n=3时等号成立,

则m+9n的最小值为4.

角度3消元法

例3已知正数a,b满足a2-2ab+4=0,则b-a4的最小值为()

A.1B.2

C.2D.22

答案B

解析∵a>0,b>0,a2-2ab+4=0,

则b=a2+2a,∴b-a4=a2+2a-a4=a4+2a≥2a4·2a=2,

当且仅当a4=2a,即a=22时,等号成立,此时b=322.

思维建模1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,先将ax+by转化为ax+by·x+yt,再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,然后利用基本不等式求最值.

训练1(1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为()

A.6B.9

C.4D.8

答案B

解析法一由a+2b=ab得b=aa-2,

因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+aa-2=2(a-2)+2a-2+5≥22(a-2)·2a-2+5=9,

当且仅当a-2=1a-2,

即a=b=3时,等号成立.

法二因为a>0,b>0,且a+2b=ab,

所以a+2bab=2a+1b=1,

因为2a+b=(2a+b)2a+1b=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=3时,等号成立,

所以2a+b的最小值为9.故选B.

(2)已知x0,则4x-2+x=-42-x+2-x+2≤-242-x·(2-x)+2=-2,

当且仅当42-x=2-x,即x=0时等号成立.

考点二利用基本不等式求参数的值或范围

例4若对于任意的x>0,不等式x2+3x+1x≥a恒成立,则实数a的取值范围为()

A.[5,+∞)B.(5,+∞)

C.(-∞,5]D.(-∞,5)

答案C

解析令f(x)=x2+3x+1x,

由题意可得a≤f(x)min,

f(x)=x+1x+3≥2x·1x+3=5,

当且仅当x=1x,即x=1时等号成立,

a≤f(x)min=5,

所以实数a的取值范围为(-∞,5].

思维建模?x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a;?x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a.

训练2(1)设a>0,若关于x的不等式x+ax≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是()

A.1B.4

C.9D.16

答案C

解析因为x>0,由x+ax≥2x·ax=2a,

当且仅当x=ax,即x=a时取等号,

则2a≥6,可得a≥9.

(2)已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若2x+y0,y>0,且2x+1y=1,

所以2x+y=(2x+y)2x+1y=5+2xy+2yx≥5+22xy·2yx=9,

当且仅当2xy=2yx,且2x+1y=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取...