第4节 导数与函数的极值、最值

课标要求1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.4.会用导数研究生活中的最优化问题.



【知识梳理】

1.函数的极值

(1)函数的极小值

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)0.则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

(2)函数的极大值

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)0,解得c≠0,

即c∈(-∞,0)∪(0,+∞).





考点一利用导数求函数的极值

角度1根据函数图象判断极值

例1(多选)如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,下列说法正确的是()



A.f(1)为函数f(x)的极大值

B.当x=-1时,f(x)取得极小值

C.f(x)在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减

D.当x=3时,f(x)取得极小值

答案BC

解析由图象知,当x∈(-2,-1)时,f'(x)0,

即f(x)在(-1,2)上单调递增,

所以当x=-1时,f(x)取得极小值,

故A错误,B正确;

当x∈(2,4)时,f'(x)0;

当x∈-12a,+∞时,f'(x)0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0恒成立,

故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.

综上,当a0时,f(x)无极值.

思维建模运用导数求函数f(x)极值的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出导函数在定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号;(5)求出极值.

角度3由函数的极值求参数

例3(2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)=ex-ax-a3,若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.

解易知函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,

当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增,无极值;

当a>0时,由f'(x)>0,得x>lna,由f'(x)0),

等价于1-lna-a20).

令g(a)=1-lna-a2(a>0),

则g'(a)=-1a-2a0;

当a>1时,g(a)0时,g(x)>0;

当x0,使得g(x)在(0,m)上单调递减,

当x∈(0,m)时,g(x)0).

当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,

则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;

当a>0时,若x∈0,1a,则f'(x)>0;

若x∈1a,+∞,则f'(x)0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=1a.

考点二利用导数求函数的最值

角度1求已知函数的最值

例4(2022·全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为()

A.-π2,π2B.-3π2,π2

C.-π2,π2+2D.-3π2,π2+2

答案D

解析f(x)=cosx+(x+1)sinx+1,x∈[0,2π],则f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)·cosx=(x+1)cosx,x∈[0,2π].

令f'(x)=0,解得x=-1(舍去),x=π2或x=3π2.

因为fπ2=cosπ2+π2+1sinπ2+1=2+π2,

f3π2=cos3π2+3π2+1sin3π2+1=-3π2,

又f(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,

f(2π)=cos2π+(2π+1)sin2π+1=2,

所以f(x)max=fπ2=2+π2,

f(x)min=f3π2=-3π2.故选D.

角度2由函数的最值求参数

例5(2025·福建名校联考)已知函数f(x)=x3-3x2+3在区间(a,a+6)上存在最小值,则实数a的取值范围为()

A.[-1,2)B.-52,1

C.-2,32D.[-1,1)

答案A

解析由题意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).

当f'(x)>0时,得x2,

当f'(x)2,-1≤a0.

若a≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,无最小值,则a>0,

则f(x)在0,1a上单调递减,

在1a,+∞上单调递增,

所以f(x)min=f1a=1+lna=0,解得a=1e.

三次函数的对称性

结论1:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点-b3a,f-b3a中心对称.

结论2:已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)中心对称点的横坐标为x0,两个极值点分别为x1,x2,则f(x1)-f(x2)x1-x2=23f'(x0)=-a2(x1-x2)2.

结论3:若y=f(x)图象关于点(m,n)对称,则y=f'(x)图象关于轴x=m对称,点对称函数的导数是轴对称函数,轴对称函数的导数是点对称函数,奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.

典例已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且M(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的对称中心,则必有g'(x0)=0(其中函数g(x)=f'(x)).若实数m,n满足m3+6m2+13m=10,n3+6n2+13n=-30,则m+n=()

A.-4B.-3

C.-2D.-1

答案A

解析令f(x)=x3+6x2+13x,

则f'(x)=3x2+12x+13,

令h(x)=3x2+12x+13,h'(x)=6x+12=0,解得x=-2,

又f(-2)=(-2)3+6×(-2)2+13×(-2)=-10,

所以函数f(x)的图象关于点(-2,-10)成中心对称.

因为m3+6m2+13m=10,n3+6n2+13n=-30,

所以f(m)+f(n)=-20,

又f'(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0,

所以函数f(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增,

所以m+n=2×(-2)=-4.

训练(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则()

A.当a>1时,f(x)有三个零点

B.当a1时,由f'(x)0得xa,

则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,

且当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+10得x>0或x0;

当-22时,f'(x)>0.

由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,

在x=2处取得极小值.

2.函数f(x)=13x3+x2-3x-1的极小值点是()

A.1B.1,-83

C.-3D.(-3,8)

答案A

解析f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,

所以函数f(x)=13x3+x2-3x-1在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1.

3.函数f(x)=xcosx-sinx在区间[-π,0]上的最大值为()