第4节 数列中的构造问题

题型分析求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法,还有构造法,其总的思想是根据数列的递推公式,利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.

题型一形如an+1=pan+f(n)型

角度1an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)

例1在数列{an}中,a1=1,an=12an-1+2(n≥2),则数列{an}的通项公式为.

答案an=-312n-1+4

解析法一设an+λ=12(an-1+λ),

即an=12an-1-12λ,

所以-12λ=2,即λ=-4,

所以an-4=12(an-1-4).

又a1-4=-3,所以an-4=(-3)12n-1,

故数列{an}的通项公式为an=-312n-1+4.

法二由an=12an-1+2(n≥2)得

an-1=12an-2+2(n≥3),

所以an-an-1=12(an-1-an-2)(n≥3).

因为a1=1,a2=12a1+2=52,

所以a2-a1=32,

所以an-an-1=3212n-2(n≥2),

所以由累加法可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=32·1-12n-11-12+1=-312n-1+4(n≥2),又a1=1满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=-312n-1+4.

角度2an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)

例2(2025·广东大联考)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公式为.

答案an=3n-2(n-1)

解析法一设an+1+p(n+1)+q=3(an+pn+q),即an+1=3an+2pn+2q-p,

与原式相比较,对应项系数相等得

2p=4,2q-p=-6,解得p=2,q=-2.

首项a1+2-2=3,

所以数列{an+2n-2}是首项为3,公比为3的等比数列,

故an+2n-2=3×3n-1=3n,

故an=3n-2(n-1).

法二因为an+1=3an+4n-6(n∈N*),

所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)],

因为a1=3,所以a1+2×(1-1)=3,

所以{an+2(n-1)}是首项为3,公比为3的等比数列,

则an+2(n-1)=3·3n-1=3n,

所以an=3n-2(n-1).

角度3an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)

例3(2025·宜春调研)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项an=()

A.-3×2n-1B.3×2n-1

C.5n+3×2n-1D.5n-3×2n-1

答案D

解析法一在递推公式an+1=2an+3×5n的两边同时除以5n+1,

得an+15n+1=25×an5n+35,①

令bn=an5n,

则①式变为bn+1=25bn+35,

即bn+1-1=25(bn-1),

所以数列{bn-1}是等比数列,

其首项为b1-1=a15-1=-35,公比为25,

所以bn-1=-35×25n-1,

即bn=1-35×25n-1,

所以an5n=1-35×25n-1=1-3×2n-15n,

所以an=5n-3×2n-1.

法二设an+1+k×5n+1=2(an+k×5n),

则an+1=2an-3k×5n,

与an+1=2an+3×5n比较可得k=-1,

所以an+1-5n+1=2(an-5n),

所以数列{an-5n}是首项为a1-5=-3,

公比为2的等比数列,

所以an-5n=-3×2n-1,

所以an=5n-3×2n-1.

思维建模1.形如an+1=αan+β(α≠0,1,β≠0)的递推式可用构造法求通项,构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.

2.递推公式an+1=αan+β的推广式an+1=αan+β×γn(α≠0,1,β≠0,γ≠0,1),两边同时除以γn+1后得到an+1γn+1=αγ·anγn+βγ,转化为bn+1=kbn+βγ(k≠0,1)的形式,通过构造公比是k的等比数列bn-βγ(1-k)求解.

训练1(1)已知数列{an}满足an+1=2an+n,a1=2,则an=.

答案2n+1-n-1

解析令an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),

即an+1=2an+xn+y-x,

与原等式比较得,x=y=1,

所以an+1+(n+1)+1an+n+1=2,

所以数列{an+n+1}是以a1+1+1=4为首项,2为公比的等比数列,

所以an+n+1=4×2n-1,即an=2n+1-n-1.

(2)(2025·烟台质检)若数列{an}满足a1=2,an+1-2an=3n-1,则数列{an}的通项公式an=.

答案2n-1+3n-1

解析因为an+1-2an=3n-1,

即an+13n-1=23·an3n-2+1,

所以an+13n-1-3=23an3n-2-3,

所以an+13n-1-3an3n-2-3=23.

因为a1=2,所以a131-2-3=3,

故an3n-2-3是以3为首项,23为公比的等比数列,

所以an3n-2-3=3×23n-1,

所以an=2n-1+3n-1.

题型二相邻项的差为特殊数列(形如an+1=pan+qan-1)型

例4已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.

答案3n-(-1)n4

解析法一因为an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),

设bn=an+1+an,

所以bnbn-1=an+1+anan+an-1=3(an+an-1)an+an-1=3,

又因为b1=a2+a1=3,

所以{bn}是首项为3,

公比为3的等比数列.

所以bn=an+1+an=3×3n-1=3n,

从而an+13n+1+13·an3n=13,

不妨令cn=an3n,即cn+1+13cn=13,

故cn+1-14=-13cn-14,

即cn+1-14cn-14=-13,

又因为c1-14=a13-14=112,

所以数列cn-14是首项为112,公比为-13的等比数列,

故cn-14=112×-13n-1=an3n-14,

从而an=3n-(-1)n4.

法二因为方程x2=2x+3的两根为-1,3,

可设an=c1·(-1)n-1+c2·3n-1,

由a1=1,a2=2,

解得c1=14,c2=34,

所以an=3n-(-1)n4.

思维建模可以化为an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的两个根,若1是方程的根,则直接构造数列{an-an-1},若1不是方程的根,则需要构造两个数列,采取消元的方法求数列{an}.

训练2若x=1是函数f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1(n∈N*)的极值点,数列{an}满足a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式an=.

答案3n-1

解析f′(x)=4an+1x3-3anx2-an+2,

∴f′(1)=4an+1-3an-an+2=0,

即an+2-an+1=3(an+1-an),

∴数列{an+1-an}是首项为2,公比为3的等比数列,∴an+1-an=2×3n-1,

则an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1

=2×3n-2+…+2×30+1

=2×(3n-2+3n-3+…+31+30)+1

=2×1-3n-11-3+1

=3n-1-1+1=3n-1.

题型三倒数为特殊数列(形如an+1=pa...