第4节 简单的三角恒等变换（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第4节 简单的三角恒等变换
课标要求1.会根据相关公式进行化简和求值.2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
考点一三角函数式的化简
例1化简:(1)2cos4x-2cos2x+122tanπ4-xsin2π4+x=.
答案12cos2x
解析原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2·sinπ4-xcosπ4-x·cos2π4-x
=(2cos2x-1)24sinπ4-xcosπ4-x=cos22x2sinπ2-2x=cos22x2cos2x=12cos2x.
(2)1tanα2-tanα2·1+tanα·tanα2=.
答案2sinα
解析原式=cosα2sinα2-sinα2cosα2·1+sinαcosα·sinα2cosα2
=cos2α2-sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2+sinαsinα2cosαcosα2
=2cosαsinα·cosα2cosαcosα2=2sinα.
思维建模1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1(1)21+sin4+2+2cos4等于()
A.2cos2B.2sin2
C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2
答案B
解析21+sin4+2+2cos4
=2sin22+2sin2cos2+cos22+2+2(2cos22-1)
=2(sin2+cos2)2+4cos22
=2|sin2+cos2|+2|cos2|.
∵π20,
∴原式=2(sin2+cos2)-2cos2=2sin2.
(2)已知00,
则tanα+tanπ4+α=tanα+tanπ4+tanα1-tanπ4tanα
=tanα+1+tanα1-tanα=1,
整理可得tan2α-3tanα=0,解得tanα=3,
所以sin2α+1cos2α=cos2α+2sinαcosα+sin2αcos2α-sin2α
=(cosα+sinα)2(cosα-sinα)(cosα+sinα)
=cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.
4.(2025·呼和浩特联考)若α为锐角,且sinα(3·tan50°-1)=1,则α=()
A.10°B.20°
C.70°D.80°
答案C
解析由sinα=13tan50°-1
=13sin50°cos50°-1=cos50°3sin50°-cos50°
=cos50°232sin50°-12cos50°
=cos50°2sin(50°-30°)=sin40°2sin20°
=2sin20°cos20°2sin20°=cos20°,
又α为锐角,所以α=70°.
5.(2025·湖北重点高中联考)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=5-12≈0.618,现给出三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα和二倍角公式sin2α=2sinαcosα,则t与sin18°的关系式正确的为()
A.t=52sin18°B.t=2sin18°
C.t=5sin18°D.t=4sin18°
答案B
解析因为cos54°=sin36°,
即cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°,
则cos3β=sin2β,
即4cos3β-3cosβ=2sinβcosβ,
因为cosβ≠0,所以4cos2β-3=2sinβ,
即4(1-sin2β)-3=2sinβ,
整理得4sin2β+2sinβ-1=0,
解得sinβ=-2±208.
因为sin18°>0,所以sin18°=-1+54,
故t=5-12=2sin18°.
6.(2025·广东名校大联考)设sin20°=m,cos20°=n,则tan10°+11-tan10°-11-2sin210°=()
A.mnB.-mn
C.nmD.-nm
答案A
解析法一tan10°+11-tan10°-11-2sin210°
=sin10°+cos10°cos10°-sin10°-1cos20°
=(sin10°+cos10°)2(cos10°-sin10°)(cos10°+sin10°)-1cos20°
=1+2sin10°cos10°cos210°-sin210°-1cos20°
=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.
法二tan10°+11-tan10°=tan10°+tan45°1-tan10°tan45°
=tan55°=1-cos110°sin110°=1+sin20°cos20°,
原式=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.
7.(2025·龙岩模拟)已知00,-π20,所以0-33,则2β∈5π6,π,
因为α∈(0,π),tanα=-12>-33,
则α∈5π6,π,则α+2β∈5π3,2π,
所以α+2β=7π4.
课标要求1.会根据相关公式进行化简和求值.2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
考点一三角函数式的化简
例1化简:(1)2cos4x-2cos2x+122tanπ4-xsin2π4+x=.
答案12cos2x
解析原式=12(4cos4x-4cos2x+1)2·sinπ4-xcosπ4-x·cos2π4-x
=(2cos2x-1)24sinπ4-xcosπ4-x=cos22x2sinπ2-2x=cos22x2cos2x=12cos2x.
(2)1tanα2-tanα2·1+tanα·tanα2=.
答案2sinα
解析原式=cosα2sinα2-sinα2cosα2·1+sinαcosα·sinα2cosα2
=cos2α2-sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2+sinαsinα2cosαcosα2
=2cosαsinα·cosα2cosαcosα2=2sinα.
思维建模1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
训练1(1)21+sin4+2+2cos4等于()
A.2cos2B.2sin2
C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2
答案B
解析21+sin4+2+2cos4
=2sin22+2sin2cos2+cos22+2+2(2cos22-1)
=2(sin2+cos2)2+4cos22
=2|sin2+cos2|+2|cos2|.
∵π20,
∴原式=2(sin2+cos2)-2cos2=2sin2.
(2)已知00,
则tanα+tanπ4+α=tanα+tanπ4+tanα1-tanπ4tanα
=tanα+1+tanα1-tanα=1,
整理可得tan2α-3tanα=0,解得tanα=3,
所以sin2α+1cos2α=cos2α+2sinαcosα+sin2αcos2α-sin2α
=(cosα+sinα)2(cosα-sinα)(cosα+sinα)
=cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.
4.(2025·呼和浩特联考)若α为锐角,且sinα(3·tan50°-1)=1,则α=()
A.10°B.20°
C.70°D.80°
答案C
解析由sinα=13tan50°-1
=13sin50°cos50°-1=cos50°3sin50°-cos50°
=cos50°232sin50°-12cos50°
=cos50°2sin(50°-30°)=sin40°2sin20°
=2sin20°cos20°2sin20°=cos20°,
又α为锐角,所以α=70°.
5.(2025·湖北重点高中联考)著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=5-12≈0.618,现给出三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα和二倍角公式sin2α=2sinαcosα,则t与sin18°的关系式正确的为()
A.t=52sin18°B.t=2sin18°
C.t=5sin18°D.t=4sin18°
答案B
解析因为cos54°=sin36°,
即cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°,
则cos3β=sin2β,
即4cos3β-3cosβ=2sinβcosβ,
因为cosβ≠0,所以4cos2β-3=2sinβ,
即4(1-sin2β)-3=2sinβ,
整理得4sin2β+2sinβ-1=0,
解得sinβ=-2±208.
因为sin18°>0,所以sin18°=-1+54,
故t=5-12=2sin18°.
6.(2025·广东名校大联考)设sin20°=m,cos20°=n,则tan10°+11-tan10°-11-2sin210°=()
A.mnB.-mn
C.nmD.-nm
答案A
解析法一tan10°+11-tan10°-11-2sin210°
=sin10°+cos10°cos10°-sin10°-1cos20°
=(sin10°+cos10°)2(cos10°-sin10°)(cos10°+sin10°)-1cos20°
=1+2sin10°cos10°cos210°-sin210°-1cos20°
=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.
法二tan10°+11-tan10°=tan10°+tan45°1-tan10°tan45°
=tan55°=1-cos110°sin110°=1+sin20°cos20°,
原式=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.
7.(2025·龙岩模拟)已知00,-π20,所以0-33,则2β∈5π6,π,
因为α∈(0,π),tanα=-12>-33,
则α∈5π6,π,则α+2β∈5π3,2π,
所以α+2β=7π4.
