第5节古典概型、概率的基本性质

课标要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时,可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.



【知识梳理】

1.古典概型

(1)两个特征

有限性:样本空间的样本点只有有限个;等可能性:每个样本点发生的可能性相等.

(2)计算公式

设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=kn=n(A)n(Ω).

其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.

2.概率的性质

性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1;

性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(?)=0;

性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);

性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);

性质5:如果A?B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为??A?Ω,所以0≤P(A)≤1.

性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

[常用结论与微点提醒]

互斥事件概率加法公式的推广:

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本点是“发芽与不发芽”.()

(2)“在区间[-3,2]上任取一个数,求它取自[-3,0]的概率属于古典概型.()

(3)不可能事件发生的概率为0,必然事件发生的概率为1.()

(4)若P(A)+P(B)=1,则A,B互相对立.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)×

解析对于(1),两个样本点是“发芽”与“发不发芽”,因在适宜条件下,所以一定发芽,样本点不具备等可能性;对于(2),样本空间是无限的,故都不属于古典概型;(4)P(A)+P(B)=1时,A,B不一定对立,如掷骰子一次A为“掷出偶数点”,B为“掷出点数不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不对立.

2.(苏教必修二P283T1原题)某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,那么下列说法中正确的是()

A.一定不会淋雨B.淋雨机会为34

C.淋雨机会为12D.淋雨机会为14

答案D

解析样本点为“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下雨帐篷未到”是等可能的,而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨,故淋雨机会为14.

3.(湘教必修二P224例5改编)从1,2,3,…,30中任意选一个数,则这个数是偶数或能被3整除的概率为()

A.16B.13

C.12D.23

答案D

解析设A=“选到偶数”,B=“选到能被3整除的数”,

则P(A)=1530=12,

P(B)=1030=13,

P(AB)=530=16,

则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=23.

4.(人教A必修二P245练习T1改编)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3且B?A,则P(A∪B)=,P(AB)=.

答案0.50.3

解析P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3.



考点一古典概型

例1(1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()

A.14B.13

C.12D.23

答案B

解析法一画出树状图:



甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为824=13,故选B.

法二甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A44=24种排法,

其中甲或乙在排尾有C21·A33=12种排法,

而丙在排头且甲或乙在排尾有C21A22=4种排法,

故丙不在排头且甲或乙在排尾有12-4=8种排法,故由古典概型所求概率为824=13.

(2)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练,从甲开始传球,甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人,以此类推,则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为()

A.1427B.59

C.1627D.1727

答案C

解析按接球人分类:①不含甲,三人时,乙丙丁,乙丁丙,丙乙丁,丙丁乙,丁乙丙,丁丙乙,共6种;

两人时,乙丙乙,丙乙丙,乙丁乙,丁乙丁,丁丙丁,丙丁丙,共6种;

②含甲,乙甲乙,丙甲丙,丁甲丁,乙丙甲,乙甲丙,乙丁甲,乙甲丁,丙乙甲,丙甲乙,丁乙甲,丁甲乙,丙丁甲,丙甲丁,丁甲丙,丁丙甲,共15种,

故共计27种.

其中乙恰好接到1次球的情况有16种,

所以所求概率为1627.

思维建模求样本空间中样本点个数的方法

(1)枚举法:适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.

(2)树状图法:适合于较为复杂的问题,注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同;有时也可看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同.

(3)排列组合法:在求一些较复杂的样本点个数时,可利用排列或组合的知识.

训练1(1)(2025·1月八省联考)有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8.现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.

答案356

解析根据题意,8张卡片上的所有数字之和为36,所以抽取的3张卡片上的数字之和为18,只有三种情况:3+7+8,4+6+8,5+6+7,

所以所求概率为p=3C83=356.

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.

答案12

解析因为甲出卡片1一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.

若甲的总得分为3,则甲出卡片3,5,7时都赢,

所以只有1种组合:3-2,5-4,7-6,1-8.

若甲的总得分为2,有以下三...