第5节 椭圆

课标要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.



【知识梳理】

1.椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.

(2)其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:

①若a>c,则集合P为椭圆;

②若a=c,则集合P为线段;

③若ab>0)

y2a2+x2b2=1(a>b>0)

图形





性质

范围

-a≤x≤a

-b≤y≤b

-b≤x≤b

-a≤y≤a



对称性

对称轴:坐标轴;对称中心:原点



顶点

A1(-a,0),

A2(a,0),

B1(0,-b),

B2(0,b)

A1(0,-a),

A2(0,a),

B1(-b,0),

B2(b,0)



轴

长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b



焦距

|F1F2|=2c



离心率

e=ca∈(0,1)

a,b,c的关系

c2=a2-b2

[常用结论与微点提醒]

椭圆的焦点三角形

椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,如图所示,设∠F1PF2=θ,



(1)△PF1F2周长为2a+2c;

(2)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c;

(3)S△F1PF2=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ2=c|y0|,当|y0|=b,即点P的位置为短轴端点时,S△F1PF2取最大值,最大值为bc.

(4)|PF1|·|PF2|≤PF1|+PF2|22=a2.

(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()

(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()

(3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()

(4)x2a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析(1)由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形.

(2)因为e=ca=a2-b2a=1-ba2,

所以e越大,则ba越小,椭圆就越扁.



2.(人教A选修一P109T1原题)如果椭圆x2100+y236=1上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是.

答案14

解析根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,

又a2=100,即a=10,

所以6+|PF2|=20,故|PF2|=14.

3.(湘教选修一P126T3改编)若直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为.

答案255

解析x=0时,y=1,即b=1;

y=0时,x=-2,即c=2,

故a=b2+c2=12+22=5,

故e=ca=25=255.

4.(北师大选修一P57T2改编)与椭圆x24+y23=1的焦点相同,且经过点22,32的椭圆的标准方程为.

答案x22+y2=1

解析由题设,椭圆焦点为(±1,0),则c=1,

令椭圆的标准方程为x2a2+y2a2-1=1且a2>1,

又22,32在椭圆上,则12a2+34(a2-1)=1,

整理得4a4-9a2+2=(4a2-1)(a2-2)=0,

解得a2=2或a2=14(舍去),

所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.





考点一椭圆的定义及应用

例1(1)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是()

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.双曲线的一支

答案A

解析设动圆P的半径为r,

又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1,

圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8,

则|PA|=r+1,|PB|=8-r,

可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,

则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.

(2)(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=()

A.1B.2

C.4D.5

答案B

解析因为PF1·PF2=0,所以PF1⊥PF2,

所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=16.

因为|PF1|+|PF2|=2a=25,

所以(|PF1|+|PF2|)2=20,

即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20,

所以|PF1|·|PF2|=2.

(3)已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1),则|PA|+|PF1|的最大值为,最小值为.

答案6+26-2

解析椭圆方程可化为x29+y25=1.

设F2是椭圆的右焦点,则F2(2,0),连接AF2,PF2(图略),

∴|AF2|=2,易知|PA|+|PF1|=|PA|-|PF2|+6.

又-|AF2|≤|PA|-|PF2|≤|AF2|(当P,A,F2三点共线时等号成立),

∴6-2≤|PA|+|PF1|≤6+2.

∴|PA|+|PF1|的最大值为6+2,最小值为6-2.

思维建模椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有:判定椭圆的轨迹、求焦点三角形的周长、面积、弦长及离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

(3)利用定义实现距离的转化,利用三点共线关系求距离和差的最值问题.

训练1(1)(2025·丽水调研)已知点P是椭圆x225+y29=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=13,则△PF1F2的面积为()

A.6B.12

C.922D.22

答案C

解析由椭圆x225+y29=1,

得a=5,b=3,c=4.

设|PF1|=m,|PF2|=n,

∴m+n=10,在△PF1F2中,由余弦定理可得

(2c)2=m2+n2-2mn·cos∠F1PF2=(m+n)2-2mn-2mn·13,

可得64=100-83mn,得mn=272,

故S△F1PF2=12mn·sin∠F1PF2

=12×272×1-132=922.



(2)(2025·许昌调研)若F为椭圆C:x225+y216=1的右焦点,A,B为C上两动点,则△ABF周长的最大值为.

答案20

解析如图,设F1为椭圆C的左焦...