第5节 三角函数的图象与性质

课标要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.



【知识梳理】

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),π2,1,(π,0),3π2,-1,(2π,0).

(2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

图象







定义

域

R

R

{xx∈R,且x≠kπ+π2}

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

最小

正周期

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增

区间

2kπ-π2,2kπ+π2

[2kπ-π,2kπ]

kπ-π2,kπ+π2

递减

区间

2kπ+π2,2kπ+3π2

[2kπ,2kπ+π]

无

对称

中心

(kπ,0)

kπ+π2,0

kπ2,0

对称轴

方程

x=kπ+π2

x=kπ

无

[常用结论与微点提醒]

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=π2+kπ(k∈Z).

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).

3.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)内为增函数.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()

(2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()

(3)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.()

(4)y=sin|x|是偶函数.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)余弦函数y=cosx的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.

(2)正切函数y=tanx在每一个区间

kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.

(3)当k>0时,ymax=k+1;

当k0,cosx-12≥0,即sinx>0,cosx≥12,

解得2kπ0)的最小正周期为π,则f(x)在-π12,π6的最小值为.

答案-32

解析由f(x)的最小正周期为π,可得π=2π3ω,

所以ω=23,

所以f(x)=sin(2x+π)=-sin2x.

当x∈-π12,π6时,2x∈-π6,π3,sin2x∈-12,32,f(x)∈-32,12,

所以f(x)min=-32.

(3)当x∈π6,7π6时,函数y=3-sinx-2cos2x的值域为.

答案78,2

解析因为x∈π6,7π6,所以sinx∈-12,1.

又y=3-sinx-2cos2x

=3-sinx-2(1-sin2x)

=2sinx-142+78,

所以当sinx=14时,ymin=78;

当sinx=-12或sinx=1时,ymax=2.

即函数的值域为78,2.

考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例2(1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4,下列说法中正确的有()

A.f(x)与g(x)有相同的零点

B.f(x)与g(x)有相同的最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期

D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

答案BC

解析对于A,令f(x)=0,则x=kπ2,k∈Z,

又gkπ2≠0,故A错误;

对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1,故B正确;

对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C正确;

对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=π2+kπ,k∈Z,即x=π4+kπ2,k∈Z,

g(x)图象的对称轴方程为2x-π4=π2+kπ,k∈Z,

即x=3π8+kπ2,k∈Z,

故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故D错误.故选BC.

(2)已知函数f(x)=2cosx+π4+φ是奇函数,且φ∈-π2,π2,则φ的值为.

答案π4

解析由已知,得π4+φ=kπ+π2(k∈Z),

所以φ=kπ+π4(k∈Z),

又因为φ∈-π2,π2,

所以当k=0时,φ=π4符合题意.

思维建模有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路

(1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx的形式.

(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为2πω,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为πω求解.

(3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.

训练2(1)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为()

A.sinπ2xB.cosπ2x

C.sinπ4xD.cosπ4x

答案B

解析A中,T=2ππ2=4,

B中,T=2ππ2=4,

C中,T=2ππ4=8,D中,T=2ππ4=8,排除C,D;

对于A,当x=2时,sinπ2×2=0,

故(2,0)是函数的一个对称中心,排除A;

对于B,当x=2时,cosπ2×2=-1,故x=2是函数的一条对称轴.

(2)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π30,所以2cos(-50°)

C.sin7π8cos50°,

即cos400°>cos(-50°),故B正确;

因为π2sin8π7,故C错误;

因为π20)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ωc>bB.c>a>b

C.a>b>cD.b>a>c

答案A

解析a=1+tan18°1-tan18°=tan(45°+18°)=tan63°,

b=2cos233°-1=cos66°=sin24°,

c=1+cos56°2=cos228°=cos28°=sin62°,

因为tan63°>tan60°=3,sin24°c>b.

(2)(2025·天津部分区模拟)下列函数中,以π2为周期,且在区间π4,π3上单调递增的是()

A.f(x)=sin|x|B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|D.f(x)=|cos2x|

答案D
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