第5节 不等式恒(能)成立问题

题型分析恒(能)成立问题是高考的常考考点,其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇,综合考查分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现,试题难度略大.

题型一分离参数法求参数范围

例1(2020·全国Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=ex+ax2-x.当x≥0时,f(x)≥12x3+1恒成立,求a的取值范围.

解由f(x)≥12x3+1得

ex+ax2-x≥12x3+1,其中x≥0,

①当x=0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a∈R.

②当x>0时,分离参数a,

得a≥-ex-12x3-x-1x2,

记g(x)=-ex-12x3-x-1x2,

g'(x)=-(x-2)ex-12x2-x-1x3.

令h(x)=ex-12x2-x-1(x>0),

则h'(x)=ex-x-1,

令H(x)=ex-x-1,则H'(x)=ex-1>0,

故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,

因此h'(x)>h'(0)=0,

故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,

∴h(x)>h(0)=0,

即ex-12x2-x-1>0恒成立,

故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;

当x∈(2,+∞)时,g'(x)0时,问题等价于a≥exx-x+1x在(0,+∞)上有解,

令g(x)=exx-x+1x,

则g'(x)=ex(x-1)x2-x2-1x2=(x-1)[ex-(x+1)]x2.

令φ(x)=ex-(x+1),则φ'(x)=ex-1,

当x>0时,φ'(x)>0,

则φ(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以φ(x)>φ(0)=0,

即当x>0时,ex-(x+1)>0,

所以当01时,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以当x=1时,g(x)min=e-2,所以a≥e-2,

综上可知,实数a的取值范围是[e-2,+∞).

洛必达法则

1.在解决不等式恒(能)成立,求参数的取值范围这一类问题时,最常用的方法是分离参数法,转化成求函数的最值,但在求最值时如果出现“00”型或“∞∞”型的代数式,解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则.

2.洛必达法则

法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件:

(1)limx→af(x)=0及limx→ag(x)=0;

(2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0;

(3)limx→af'(x)g'(x)=A,那么limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)=A.

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件:

(1)limx→af(x)=∞及limx→ag(x)=∞;

(2)在点a的某去心邻域内,f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0;

(3)limx→af'(x)g'(x)=A,那么limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x)=A.

典例(1)(2025·深圳模拟)已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对任意x>0都有f(x)>ax成立,求实数a的取值范围.

解x∈(0,+∞)时,(x+1)ln(x+1)>ax恒成立,即a0),

∴g'(x)=x-ln(x+1)x2.

令k(x)=x-ln(x+1)(x>0),

∴k'(x)=1-1x+1=xx+1>0,

∴k(x)在(0,+∞)上单调递增.

∴k(x)>k(0)=0,

∴x-ln(x+1)>0恒成立,

∴g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.

由洛必达法则知

limx→0g(x)=limx→0(x+1)ln(x+1)x

=limx→0[ln(x+1)+1]=1,

∴a≤1,故实数a的取值范围是(-∞,1].

(2)已知函数f(x)=2ax3+x.当x∈(1,+∞)时,恒有f(x)>x3-a,求a的取值范围.

解当x∈(1,+∞)时,f(x)>x3-a恒成立,

即2ax3+x>x3-a恒成立,

即a(2x3+1)>x3-x恒成立,

即a>x3-x2x3+1恒成立,

令φ(x)=x3-x2x3+1(x>1),

∴φ'(x)=4x3+3x2-1(2x3+1)2>0,

∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,

由洛必达法则知又limx→+∞φ(x)=limx→+∞x3-x2x3+1

=limx→+∞3x2-16x2=limx→+∞6x12x=12,

∴φ(x)0,

所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,



→根据f'(x)的符号确定f(x)的单调区间(3分)

所以当x=0时,f(x)取得极小值,为f(0)=0,f(x)无极大值.→求f(x)的极值(5分)

(2)法一f'(x)=-aln(1+x)-(a+1)x1+x,x≥0,?

设S(x)=-aln(1+x)-(a+1)x1+x,x≥0,

则S'(x)=-ax+1-a+1(1+x)2=-ax+2a+1(1+x)2,?

→为了确定f'(x)的符号,求f(x)的二阶导数(6分)

当a≤-12时,S'x≥0,故Sx在0,+∞上为增函数,故Sx≥S0=0,即f'x≥0,所以fx在0,+∞上为增函数,故fx≥f0=0.??

→利用S'(x)的符号得到当a≤-12时原不等式成立(8分)

当-120,g'(x)在[1,+∞)上单调递增,g'(x)≥g'(1)=1-2a>0,

∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,

从而f(x)-lnxx+1≥0,不符合题意.

②若00,

∴g'(x)在1,12a上单调递增,

从而g'(x)≥g'(1)=1-2a>0,

∴g(x)在1,12a上单调递增,g(x)≥g(1)=0,

从而f(x)-lnxx+1≥0,不符合题意.

③若a≥12,则F'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,

∴g'(x)在[1,+∞)上单调递减,

g'(x)≤g'(1)=1-2a≤0.

∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,

从而g(x)≤g(1)=0,f(x)-lnxx+1≤0,

综上,a的取值范围是12,+∞.

题型三双变量的恒(能)成立问题

例3已知f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.

(1)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;

(2)如果对于任意的s,t∈12,2,f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.

解(1)存在x1,x2∈[0,2],

使得g(x1)-g(x2)≥M成立,

即存在x1,x2∈[0,2],

使得[g(x1)-g(x2)]max≥M,

即g(x)max-g(x)min≥M(x∈[0,2]).

由g(x)=x3-x2-3,

得g'(x)=3x2-2x=3xx-23,

当230,

当0g(x2)?f(x)min>g(x)min.

(2)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.

(3)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.

(4)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.

训练3(2025·汕头联考改编)设函数f(x)=(x-1)(ex-e),g(x)=ex-ax-1,若?x2∈[0,+∞),都?x1∈R,使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,求a的最大值.

解由题意,f(x)=(x-1)(ex-e),x∈R,

当x0,当x≥1时,x-1≥0,ex-e≥0,

∴f(x)≥0,∴f(x)≥0恒成立,

且f(x)min=f(1)=0.

∵?x2∈[0,+∞),都?x1∈R,使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,

∴?x...