第5节 复数

课标要求1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.



【知识梳理】

1.复数的有关概念

(1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

(2)分类



满足条件(a,b为实数)

复数的

分类

a+bi为实数?b=0



a+bi为虚数?b≠0



a+bi为纯虚数?a=0且b≠0

(3)复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

(5)模:向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b∈R).

2.复数的几何意义

复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.



(2)几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,



即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2-OZ1.

[常用结论与微点提醒]

1.i的乘方具有周期性

i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.

2.(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.

3.复数的模与共轭复数的关系z·z=|z|2=|z|2.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.()

(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析(1)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.

2.(人教A必修二P69例1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=.

答案-1

解析由题意知m+1=0,m-1≠0,解得m=-1.

3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数5i-2的共轭复数是.

答案-2+i

解析5i-2=5(-2-i)(-2+i)(-2-i)=-2-i,

故其共轭复数是-2+i.

4.(北师大必修二P183例5改编)计算:

(-2-i)(3+i)=.

答案-5-5i

解析(-2-i)(3+i)

=-2×3-2×i-3×i-i×i

=-6-2i-3i-i2

=-6-2i-3i+1

=-5-5i.



考点一复数的概念

例1(1)(2025·广州调研)复数z满足(1+i)z=i,i为虚数单位,则下列说法正确的是()

A.|z|=1

B.z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的实部为12

D.z的虚部为12i

答案C

解析∵(1+i)z=i,

∴z=i1+i=i·(1-i)(1+i)(1-i)=12+12i,

则|z|=122+122=22,故A错误;

z在复平面内对应的点的坐标为12,12,

位于第一象限,故B错误;

z的实部为12,故C正确;

z的虚部为12,故D错误.

(2)(2025·宜春质检)如果复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数,m∈R,i是虚数单位,则()

A.m≠1且m≠-2B.m=1

C.m=-2D.m=1或m=-2

答案C

解析由复数z=m2+m-2-(m-1)i是纯虚数,得m2+m-2=0,m-1≠0,解得m=-2.

思维建模解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.

训练1(1)(多选)(2025·漳州模拟)若(1+i)a+bi=4i,a,b∈R,则()

A.a=1B.b=4

C.a-b=-4D.ab=0

答案BCD

解析由题意可得,(1+i)a+bi=a+(a+b)i=4i,

则a=0,a+b=4,解得a=0,b=4,

可得a-b=-4,ab=0,故B,C,D正确,A错误.

(2)已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是()

A.复数z的虚部为-32

B.z=12-32i

C.z2=z+1

D.复数z的共轭复数为12-32i

答案D

解析设复数z=a+bi(a,b∈R),

因为|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,

所以a2+b2=1,(a-1)2+b2=1,a>0,b>0,解得a=12,b=32,

即z=12+32i.

对于A,复数z的虚部为32,故A错误;

对于B,z=12+32i,故B错误;

对于C,因为z2=12+32i2=-12+32i≠z+1,故C错误;

对于D,复数z的共轭复数为12-32i,故D正确.

考点二复数的四则运算

例2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)若zz-1=1+i,则z=()

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

答案C

解析因为zz-1=1+i,所以z-1z=11+i,

即1-1z=1-i(1+i)(1-i)=12-12i,即1z=12+12i=1+i2,

所以z=21+i=1-i,故选C.

(2)(2025·郑州模拟)若z=i2026+21-i,则|z|=()

A.22B.52

C.322D.102

答案A

解析z=i2026+21-i=i4×506+2+21-i=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,

|z|=122+122=22.

思维建模1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算;

2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.

训练2(1)(2025·武汉调研)复数1+3i3+i3=()

A.-iB.i

C.32-iD.32+i

答案B

解析复数1+3i3+i3=1+3i3-i=(1+3i)(3+i)(3-i)(3+i)=i.

(2)(多选)(2025·湖南名校联考)已知复数z1,z2满足3z1+z2=-1-2i,z1+3z2=5+2i,则()

A.z1=-1-iB.z2=2+i

C.z1-z2=-3+2iD.z1z2=-3-i5

答案ABD

解析∵3z1+z2=-1-2i,

z1+3z2=5+2i,

∴z1=-1-i,z2=2+i,

∴z1-z2=-3-2i,

z1z2=-1-i2+i=-(1+i)(2-i)5=-3-...