第5节 幂函数与几类特殊函数

课标要求1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=1x的图象,了解它们的变化情况.

2.了解对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、最值函数和一次分式函数的图象与性质.



【知识梳理】

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)常见的五种幂函数的图象



(3)幂函数的性质

①幂函数在(0,+∞)上都有定义;

②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;

③当αbc时,函数在区间-∞,-ba和-ba,+∞上分别单调递减;当ad0,b>0)

(1)性质

①奇偶性:奇函数;

②单调性:

单增区间:-∞,-ba,ba,+∞;

单减区间:-ba,0,0,ba;

③渐近线:y=ax和x=0.

(2)图象



4.飘带函数y=ax-bx(a>0,b>0)

(1)性质

①奇偶性:奇函数;②单调性:在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增;

③渐近线:x=0.

(2)图象



5.高斯函数y=[x]

(1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x],例如,[3.4]=3,[-2.1]=-3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数y=[x]称为高斯函数,又称取整函数.

(2)性质

①定义域:R;值域:Z.

②不具有单调性、奇偶性、周期性.

(3)图象



6.狄利克雷函数D(x)=1,x∈Q,0,x?Q的性质

(1)定义域R;值域{0,1}.

(2)奇偶性:偶函数.

(3)周期性:以任意正有理数为其周期,无最小正周期.

(4)无法画出函数的图象,但其图象客观存在.

7.最值函数的概念

设min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,max{a,b}=a,a≥b,b,a0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y=2x13是幂函数.()

(2)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.()

(3)当n是偶数时,幂函数y=xnm(m,n∈Z,且m是奇数)是偶函数.()

(4)函数y=x+mx的单调增区间是(-∞,-m),(m,+∞).()

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,

故y=2x13不是幂函数,故(1)错误.

(4)只有m>0时,y=x+mx的单调增区间才是(-∞,-m),(m,+∞).

2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为()



A.-10时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且当01

D.m是奇数,n是偶数,且mn>1

答案B

解析由图象可知y=xmn为偶函数,

且在(0,+∞)上单调递增,结合题图在(0,+∞)上的增长趋势可知,mn∈(0,1)且m为偶数,

又m,n∈N*且互质,故n是奇数.故选B.

(2)(2025·郑州模拟)已知a=1243,b=1323,c=12513,则a,b,c的大小关系为()

A.ab>cD.b1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

训练1(1)(2025·湖北名校联考)已知幂函数f(x)=xm2+2m-3(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增,则m=()

A.-2B.-1

C.0D.3

答案B

解析因为函数f(x)是偶函数,

且在(-∞,0)上单调递增,

所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,

所以m2+2m-31×a,

即a0,-x-1x,x0,-x+1x,x0时,f(x)=x+1x,

则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

由偶函数性质知f(x)min=1+11=2,故A错误;

当a=-1时,f(-x)=-x+1x=x-1x=f(x),则f(x)为偶函数,

当x∈(0,1)时,f(x)=-x+1x,

易知f(x)在(0,1)上单调递减,

当x∈[1,+∞)时,f(x)=x-1x,

易知f(x)在(1,+∞)上单调递增,

由偶函数对称性知,f(x)的增区间为[-1,0),[1,+∞),故B正确;

若a=4时,f(x)=x+4x,

令f(x)=4时,则x1=-2,x2=2,

此时g(a)=4,故C错误;

若a=0时,f(x)=|x|,

令f(x)=4时,则x=±4,g(a)=8,

此时与函数g(a)的最大值为4矛盾,故D错误.

角度3高斯函数、狄利克雷函数、最值函数

例4(1)(多选)(2025·浙江名校联考)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[-2.1]=-3,[2.1]=2,则下列说法正确的是()

A.函数y=x-[x]在区间[k,k+1)(k∈Z)上单调递增

B.函数y=x-[x]的值域为[0,1)

C.函数y=x-[x]是R上的增函数

D.x∈R,x≥[x]+1

答案AB

解析对于A,x∈[k,k+1),k∈Z,有[x]=k,则函数y=x-[x]=x-k在[k,k+1)上单调递增,故A正确;

对于B,C,当x∈[0,1)时,y=x,

当x∈[1,2)时,y=x-1,

当x∈[2,3)时,y=x-2,…

故可画出y=x-[x]的图象如图所示,



由图象可知B正确,C错误;

对于D,当x=2时,[x]+1=3,

有2f(1)

D.?x∈R,都有f(1-x)=f(2+x)

答案BD

解析对于A,函数y=f(x)的图象是断续的点集,不是两条直线,A错误;

对于B,当x为有理数时,f(x)=1,

所以f(f(x))=f(1)=1,

当x为无理数时,f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,B正确;

对于C,f(3)=0,f(1)=1,

所以f(1)>f(3),C错误;

对于D,由题意,函数定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,

若x是有理数,则x+T也是有理数;

若x是无理数,则x+T也是无理数;

所以根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,

f(x+T)=f(x)对?x∈R恒成立,

故f(x+2)=f(x)=f(-x)=f(1-x),

所以?x∈R,都有f(1-x)=f(2+x),D正确.

(3)(2025·西安质检)已知f(x)=2x+1,g(x)=2(x+1)2,?x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为:M(x)=max{f(x),g(x)}.当x∈R时,函数M(x)的最小值为()

A.0B.1

C.2D.4
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