第5节 数列求和

课标要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列,非等比数列求和的几种常见方法.



【知识梳理】

1.特殊数列的求和公式

(1)等差数列的前n项和公式:

Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.

(2)等比数列的前n项和公式:

Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a1(1-qn)1-q,q≠1.

2.数列求和的几种常用方法

(1)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.

(2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n项和可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法

如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.

[常用结论与微点提醒]

1.1+2+3+4+…+n=n(n+1)2.

2.12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.

3.裂项求和常用的三种变形

(1)1n(n+1)=1n-1n+1.

(2)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.

(3)1n+n+1=n+1-n.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=a1-an+11-q.()

(2)当n≥2时,1n2-1=121n-1-1n+1.()

(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和.()

(4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=3n-12.()

答案(1)√(2)√(3)×(4)√

解析(3)要分a=0或a=1或a≠0且a≠1讨论求解.

2.(苏教选修一P181T11(1)改编)数列{an}中,an=1n(n+1),则数列{an}的前2026项和S2026=.

答案20262027

解析由题意得an=1n(n+1)=1n-1n+1,

故S2026=1-12+12-13+…+12026-12027=1-12027=20262027.

3.(人教A选修二P40习题T3(1)改编)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=.

答案2n+1-2+12n2+12n

解析Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2(1-2n)1-2+12n(n+1)=2n+1-2+12n2+12n.

4.(人教B选修三P44T1改编)数列{(n+3)·2n-1}前20项的和为.

答案22×220-2

解析S20=4×1+5×21+6×22+…+23×219,2S20=4×2+5×22+6×23+…+23×220,

两式相减,得-S20=4+2+22+…+219-23×220=4+2(1-219)1-2-23×220=-22×220+2,

故S20=22×220-2.



考点一分组求和与并项求和

例1(2025·邯郸调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列bn=(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和T2n.

解(1)因为Sn=n2+1,

当n=1时,a1=S1=12+1=2,

当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+1,

则an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1,

当n=1时,a1不满足上式,

所以an=2,n=1,2n-1,n≥2.

(2)由(1)可得

bn=(-1)nan=-2,n=1,(-1)n·(2n-1),n≥2,

所以T2n=-2+3-5+7-9+11-13+…+(4n-5)-(4n-3)+(4n-1)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+…+[(4n-5)-(4n-3)]+4n-1

=-2-2(n-1)+4n-1=2n-1.

思维建模1.分组转化法求和的常见类型主要有:分段型(如①an=n,n为奇数,2n,n为偶数,②an=2n+3n-1);周期型如an=sinnπ3.

2.并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两或几个相结合求解,则称之为并项求和.形如an=

(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.

训练1(2025·潍坊测评)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n+12an,a1=1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}满足bn=2an,n为偶数,an+2an+anan+2-2,n为奇数,求数列{bn}的前2n项和T2n.

解(1)因为Sn=n+12an,

当n≥2时,Sn-1=n2an-1,

两式相减得anan-1=nn-1,

所以a2a1=2,a3a2=32,…,anan-1=nn-1,由累乘法得ana1=n,

所以an=n(n≥2),当n=1时,符合上式,所以an=n(n∈N*).

(2)bn=2n,n为偶数,n+2n+nn+2-2,n为奇数,

当n为奇数时,bn=1+2n+1-2n+2-2

=21n-1n+2,

所以T2n=22+24+…+22n+21-13+13-15+…+12n-1-12n+1=4(1-4n)1-4+4n2n+1=4n+1-43+4n2n+1.

考点二裂项相消法求和

例2(2025·广东部分学校联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,nSn+1=(n+2)Sn.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=2an,若数列{cn}满足cn=bn(bn-1)(bn+1-1),求{cn}的前n项和.

解(1)因为nSn+1=(n+2)Sn,且n∈N*,

所以Sn+1(n+1)(n+2)=Snn(n+1),

可知数列Snn(n+1)为常数列,且S11×2=a12=12,

则Snn(n+1)=12,即Sn=n(n+1)2,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-n(n-1)2=n,

且a1=1也符合上式,所以an=n,n∈N*.

(2)由(1)可得bn=2n,

则cn=bn(bn-1)(bn+1-1)=2n(2n-1)(2n+1-1)

=12n-1-12n+1-1

设{cn}的前n项和为Tn,

则Tn=c1+c2+…+cn

=12-1-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,

所以{cn}的前n项和为1-12n+1-1.

思维建模1.裂项是通分的逆变形,裂项时需要注意两点:一是要注意裂项时对系数的调整;二是裂项后,要注意从哪里开始相互抵消,前面留下哪些项,后面对应留下哪些项,应做好处理.

2.常见的几种裂项结构:

(1)等差型:1anan+1=1d1an-1an+1(an≠0,d≠0).

(2)指数型:(a-1)an(an+b)(an+1+b)=1an+b-1an+1+b.

(3)对数型:lognan+1an=lognan+1-lognan(an>0).

(4)无理型:1a+b=1a-b(a-b)(a>0,b>0).

训练2(2025·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=2an+n2-1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列1anan+1的前n项和Tn.

解(1)因为2Sn=2an+n2-1,①

所以当n≥2时,2Sn-1=2an-1+(n-...