第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
课标要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系,会利用全概率公式计算概率.
【知识梳理】
1.事件的相互独立
(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)=1;
②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
③设B和B互为对立事件,则P(B|A)=1-P(B|A).
(3)概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω.有P(B)=n∑i=1P(Ai)P(B|Ai).
[常用结论与微点提醒]
如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.()
(2)三个事件A,B,C两两独立,P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).()
(3)P(A)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).()
(4)P(A)=P(BA)+P(BA).()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×
解析(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=0;
(3)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A);
(4)P(B)=P(BA)+P(BA).
2.(苏教选修二P143T1原题)甲、乙两人射击,中靶的概率分别为0.8,0.7.若两人同时独立射击,则他们都击中靶的概率是()
A.0.56B.0.48
C.0.75D.0.6
答案A
解析甲、乙两人射击时相互独立,
则他们都中靶的概率为0.8×0.7=0.56.
3.(人教B选修二P47练习AT4改编)已知一种节能灯能使用寿命超过10000h的概率为0.95,而使用寿命超过12000h的概率为0.9,则已经使用了10000h的这种节能灯,使用寿命能超过12000h的概率为.
答案1819
解析由题意,该节能灯使用寿命超过10000h为事件A,
则事件A的概率为P(A)=0.95;
该节能灯使用寿命超过12000h为事件B,
则事件B的概率为P(B)=0.9,
则P(AB)=P(B)=0.9,
由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)=0.90.95=1819.
4.(人教A选修三P50例4改编)某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为.
答案0.7
解析设A1=“第1天去A餐厅用餐”,
B1=“第1天去B餐厅用餐”,
A2=“第2天去A餐厅用餐”,
则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,
根据题意得,
P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,
P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.
因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
考点一相互独立事件的判断及概率
例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
答案B
解析事件甲发生的概率P(甲)=16,事件乙发生的概率P(乙)=16,事件丙发生的概率P(丙)=56×6=536,事件丁发生的概率P(丁)=66×6=16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;
事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6=136,
P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;
事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6=136,
P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;
事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.
(2)(2025·杭州质检)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳,因此在投壶的花式上就多了许多名目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得1分,投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完2支箭,目前只得1分,乙投中壶口的概率为13,投中壶耳的概率为15.四支箭投完,以得分多者赢.则乙赢得这局比赛的概率为.
答案1375
解析由题意,若乙要赢得这局比赛,按照乙第三支箭的情况可分为两类:
①第三支箭投中壶口,第四支箭必须投入壶耳,其概率为p1=13×15=115;
②第三支箭投入壶耳,第四支箭投入壶口、壶耳均可,
其概率为p2=15×13+15=875,
所以乙赢得这局比赛的概率为
p=p1+p2=115+875=1375.
思维建模求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.
(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
训练1(1)(2025·云南统一检测)甲、乙两人独立地破译一份密码,若甲能破译的概率是13,乙能破译的概率是23,则甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码的概率是.
答案79
解析法一记“甲破译密码”为事件A,“乙破译密码”为事件B,“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”为事件M,
则M=AB∪AB∪AB,其中事件A,B相互独立,事件AB,AB,AB两两互斥,
故P(M)=P(AB∪AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=13×1-23+1-13×23+13×23=79.
法二“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”的对立事件为“两人都未破译密码”,故所求概率...
课标要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系,会利用全概率公式计算概率.
【知识梳理】
1.事件的相互独立
(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)=1;
②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
③设B和B互为对立事件,则P(B|A)=1-P(B|A).
(3)概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω.有P(B)=n∑i=1P(Ai)P(B|Ai).
[常用结论与微点提醒]
如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.()
(2)三个事件A,B,C两两独立,P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).()
(3)P(A)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).()
(4)P(A)=P(BA)+P(BA).()
答案(1)×(2)√(3)×(4)×
解析(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=0;
(3)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A);
(4)P(B)=P(BA)+P(BA).
2.(苏教选修二P143T1原题)甲、乙两人射击,中靶的概率分别为0.8,0.7.若两人同时独立射击,则他们都击中靶的概率是()
A.0.56B.0.48
C.0.75D.0.6
答案A
解析甲、乙两人射击时相互独立,
则他们都中靶的概率为0.8×0.7=0.56.
3.(人教B选修二P47练习AT4改编)已知一种节能灯能使用寿命超过10000h的概率为0.95,而使用寿命超过12000h的概率为0.9,则已经使用了10000h的这种节能灯,使用寿命能超过12000h的概率为.
答案1819
解析由题意,该节能灯使用寿命超过10000h为事件A,
则事件A的概率为P(A)=0.95;
该节能灯使用寿命超过12000h为事件B,
则事件B的概率为P(B)=0.9,
则P(AB)=P(B)=0.9,
由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)=0.90.95=1819.
4.(人教A选修三P50例4改编)某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为.
答案0.7
解析设A1=“第1天去A餐厅用餐”,
B1=“第1天去B餐厅用餐”,
A2=“第2天去A餐厅用餐”,
则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,
根据题意得,
P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,
P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.
因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
考点一相互独立事件的判断及概率
例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
答案B
解析事件甲发生的概率P(甲)=16,事件乙发生的概率P(乙)=16,事件丙发生的概率P(丙)=56×6=536,事件丁发生的概率P(丁)=66×6=16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;
事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6=136,
P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;
事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6=136,
P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;
事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.
(2)(2025·杭州质检)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳,因此在投壶的花式上就多了许多名目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得1分,投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完2支箭,目前只得1分,乙投中壶口的概率为13,投中壶耳的概率为15.四支箭投完,以得分多者赢.则乙赢得这局比赛的概率为.
答案1375
解析由题意,若乙要赢得这局比赛,按照乙第三支箭的情况可分为两类:
①第三支箭投中壶口,第四支箭必须投入壶耳,其概率为p1=13×15=115;
②第三支箭投入壶耳,第四支箭投入壶口、壶耳均可,
其概率为p2=15×13+15=875,
所以乙赢得这局比赛的概率为
p=p1+p2=115+875=1375.
思维建模求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.
(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
训练1(1)(2025·云南统一检测)甲、乙两人独立地破译一份密码,若甲能破译的概率是13,乙能破译的概率是23,则甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码的概率是.
答案79
解析法一记“甲破译密码”为事件A,“乙破译密码”为事件B,“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”为事件M,
则M=AB∪AB∪AB,其中事件A,B相互独立,事件AB,AB,AB两两互斥,
故P(M)=P(AB∪AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=13×1-23+1-13×23+13×23=79.
法二“甲、乙两人中至少有一人破译这份密码”的对立事件为“两人都未破译密码”,故所求概率...
