第6节 双曲线

课标要求1.了解双曲线的定义,几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.



【知识梳理】

1.双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1,F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

(2)其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.

①若ac,则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)

y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)

图形





性质

范围

x≥a或x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a或y≥a



对称性

对称轴:坐标轴;对称中心:原点



顶点

A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)



渐近线

y=±bax

y=±abx



离心率

e=ca,e∈(1,+∞)



实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长

a,b,c的关系

c2=a2+b2

[常用结论与微点提醒]

1.离心率e=ca=1+b2a2,e越大,双曲线的“张口”越大.

2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为abc.

3.同支的焦点弦中最短的为通径,其长为2b2a;异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a.

4.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a.

5.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.

6.若渐近线方程为y=±bax,则双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).

7.等轴双曲线?e=2?渐近线为y=±x?方程为x2-y2=λ(λ≠0).

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到(0,m)和(0,-m)的距离之差的绝对值等于2m(m>0)的点的轨迹是双曲线.()

(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率为2.()

(3)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()

(4)双曲线x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是xm±yn=0.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)√

解析(1)应该表示的轨迹为两条射线.

(3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()

A.x28-y22=1B.x28-y24=1

C.x22-y28=1D.x24-y28=1

答案C

解析由题意可知,∠F1PF2=90°,

又直线PF2的斜率为2,

可得tan∠PF2F1=PF1|PF2|=2,

根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,

得|PF1|=4a,|PF2|=2a,

S△PF1F2=12|PF1||PF2|=12×4a×2a=4a2,

又S△PF1F2=8,所以a2=2,

所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(4a)2+(2a)2=20a2=40.

又|F1F2|2=4c2,所以c2=10,

又a2+b2=c2,所以b2=8,

所以双曲线的方程为x22-y28=1,故选C.

(2)已知双曲线的离心率e=52,且该双曲线经过点(2,25),则该双曲线的标准方程为.

答案y24-x2=1

解析由题意,知e=ca=1+ba2=52,

解得a=2b,

当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为

x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),

∵点(2,25)在该双曲线上,∴4a2-20b2=1,

即44b2-20b2=1,此方程无解;

当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为

y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),

∵点(2,25)在该双曲线上,∴20a2-4b2=1,

即204b2-4b2=1,解得b=1,∴a=2,

∴该双曲线的标准方程为y24-x2=1.

(3)经过点P(3,27),Q(-62,7)的双曲线的标准方程为.

答案y225-x275=1

解析设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).

∴9m-28n=1,72m-49n=1,解得m=-175,n=-125.

∴双曲线的标准方程为y225-x275=1.

思维建模1.用定义法求双曲线的标准方程时,一方面通过定义确定曲线类型;另一方面,利用题设条件求出相应的a,b值.

2.用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为x2m2-y2n2=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.

3.与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).

训练2(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()

A.x2-y28=1B.x28-y2=1

C.x2-y28=1(x≤-1)D.x2-y28=1(x≥1)

答案C

解析设动圆M的半径为r,

由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,

得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,

|MC2|-|MC1|=20,b>0),

则1a2-3b2=1且ba=2,

联立解得a=12,b=1,

则双曲线的方程为4x2-y2=1;

②若双曲线的焦点在y轴上,

则可设y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),

则3a2-1b2=1,且ab=2,此时无解,

综上,双曲线的方程为4x2-y2=1.

法二由题可设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0),

∵双曲线经过点(1,3),

∴λ=4×12-(3)2=1,

∴双曲线方程为4x2-y2=1.

考点三双曲线的几何性质

角度1渐近线、离心率

例3(1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()

A.4B.3

C.2D.2

答案C

解析法一根据焦点坐标可知c=4,根据焦点在y轴上,可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则16a2-36b2=1,a2+b2=16,得a=2,b=23,

所以离心率e=ca=2.

法...