第6节空间向量与线面位置关系

课标要求1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.



【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

名称

定义

空间向量

在空间中,具有大小和方向的量

相等向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量

共线向量

(或平行向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.

(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作,其范围是[0,π],若=π2,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.

(2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos.

(3)空间向量数量积的运算律

①结合律:(λa)·b=λ(a·b);

②交换律:a·b=b·a;

③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).



向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1+a2b2+a3b3

共线

a=λb(b≠0,λ∈R)

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3

垂直

a·b=0(a≠0,b≠0)

a1b1+a2b2+a3b3=0

模

|a|

a12+a22+a32

夹角

(a≠0,b≠0)

cos=

a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2

l1∥l2

u1∥u2?u1=λu2



l1⊥l2

u1⊥u2?u1·u2=0

直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n

l∥α

u⊥n?u·n=0



l⊥α

u∥n?u=λn

平面α,β的法向量分别为n1,n2

α∥β

n1∥n2?n1=λn2



α⊥β

n1⊥n2?n1·n2=0

[常用结论与微点提醒]

1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.

2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关.

3.实数0和任意向量相乘都为零向量.

4.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算.

5.在利用MN=xAB+yAC证明MN∥平面ABC时,必须说明M点或N点不在平面ABC内.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的.()

(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.()

(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.()

(4)若a·b是钝角.()

(5)若两平面的法向量平行,则不重合的两平面平行.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√

解析(1)直线的方向向量不是唯一的,有无数多个.(2)a⊥α.(3)若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,不能构成空间一个基底.(4)若=π,则a·b=62+62+62+2×6×6×12=4×62,

所以|PA+AB+BC|=12.



考点一空间向量的线性运算及共线、共面定理

例1(1)已知四面体O-ABC,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()

A.14,14,14B.34,34,34

C.13,13,13D.23,23,23

答案A

解析法一如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则点E为BC的中点,



AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),

则AG1=23AE=13(OB-2OA+OC),

由题设,OG=3GG1=3(OG1-OG),

则OG=34OG1=34(OA+AG1)

=34OA+13OB-23OA+13OC

=14(OA+OB+OC),

所以x=y=z=14.

法二因为G1是△ABC的重心,

所以G1A+G1B+G1C=0,

所以G1O+OA+G1O+OB+G1O+OC=0,

从而OG1=13(OA+OB+OC).

因为G是OG1上一点,且OG=3GG1,

所以OG=34OG1,

从而OG=14(OA+OB+OC),

所以x=y=z=14.

(2)(多选)下列说法中正确的是()

A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件

B.若AB,CD共线,则AB∥CD

C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若OP=34OA+18OB+18OC,则P,A,B,C四点共面

D.若P,A,B,C为空间四点,且有PA=λPB+μPC(PB,PC不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件

答案CD

解析由|a|-|b|=|a+b|,可得向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|-|b|=|a+b|,所以A不正确;

若AB,CD共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确;

由A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若OP=34OA+18OB+18OC,因为34+18+18=1,可得P,A,B,C四点共面,所以C正确;

若P,A,B,C为空间四点,且有PA=λPB+μPC(PB,PC不共线),

当λ+μ=1时,即...