第6节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

课标要求1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象.2.了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.



【知识梳理】

1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时

振幅

周期

频率

相位

初相



A

T=2πω

f=1T

=ω2π

ωx+φ

φ

[常用结论与微点提醒]

1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.

2.由y=sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)将函数y=3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin2x+π4.()

(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.()

(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()

(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

解析(1)将函数y=3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y=3cos2x.

(2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.

2.(人教A必修一P239T2改编)为了得到函数y=3sin2x-π5的图象,只需把函数y=3sinx-π5的图象上所有的点()

A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变

答案B

3.(苏教必修一P212练习T4改编)将函数f(x)=3sin2x+π4的图象向左平移π3后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=.

答案3sin2x+1112π

解析g(x)=fx+π3

=3sin2x+π3+π4=3sin2x+1112π.

4.(北师大必修二P52B组T1改编)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,ω>0)的图象常用如下两种方法:

(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π2,π,32π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;

(2)图象的变换法,由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

训练1(1)(2025·济南质检)为了得到函数y=2cos2x-2π3的图象,只需将函数y=2sinx()

A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向右平移π12个单位长度

B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移π12个单位长度

C.图象向右平移π3个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

D.图象向左平移π6个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变

答案A

解析y=2sinx=2cosx-π2,

将y=2cosx-π2的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,

得到函数y=2cos2x-π2的图象,

再将所得图象向右平移π12个单位长度,

得到函数y=2cos2x-π12-π2

=2cos2x-2π3的图象,故A正确;B错误;

或将函数y=2cosx-π2的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=2cosx-π6-π2=2cosx-2π3的图象,

再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数y=2cos2x-2π3的图象,故C,D错误.

(2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sinx与y=2sin3x-π6的交点个数为()

A.3B.4

C.6D.8

答案C

解析因为函数y=2sin3x-π6的最小正周期T=2π3,

所以函数y=2sin3x-π6在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,

所以作出函数y=2sin3x-π6与y=sinx在[0,2π]上的图象如图所示,



由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C.

考点二由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

例2(1)(2025·河南名校调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图,则fπ3=()



A.-1B.-2

.-3D.-2

答案B

解析由题图可知,A=2,

设函数f(x)的最小正周期为T,

则T4=π12--π12=π6,

所以T=2π3=2πω,

解得ω=3,则f(x)=2sin(3x+φ).

由f-π12=2sin-π4+φ=2,

可取φ=3π4,则f(x)=2sin3x+3π4,

fπ3=2sin3×π3+3π4=2sin7π4=-2.

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)=.



答案-32

解析对比正弦函数y=sinx的图象易知,

点2π3,0为“五点(画图)法”中的第五点,

所以2π3ω+φ=2kπ,k∈Z.①

由题知|AB|=xB-xA=π6,ωxA+φ=π6,ωxB+φ=5π6,

两式相减,得ω(xB-xA)=4π6,即π6ω=4π6,

解得ω=4.

代入①,得φ=2kπ-8π3,k∈Z,

所以f(π)=sin4π+2kπ-8π3=sin4π3=-32.

思维建模确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法

(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则

A=M-m2,b=M+m2.

(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=2πT.

(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.

训练2(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f-5π12=()

A.-32B.-12

C.12D.32

答案D

解析由题意得12×2πω=2π3-π6,解得ω=2,

易知x=π6是f(x)的最小值点,

所以π6×2+φ=3π2+2kπ(k∈Z),

得φ=7π6+2kπ(k∈Z),

于是f(x)=sin2x+7π6+2kπ=sin2x+7π6,

f-...