第6节指数与指数函数

课标要求1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.



【知识梳理】

1.根式的概念及性质

(1)概念:式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.

(2)性质:①负数没有偶次方根.

②0的任何次方根都是0,记作n0=0.

③(na)n=a(n∈N*,且n>1).

④nan=a(n为大于1的奇数).

⑤nan=|a|=a,a≥0,-a,a0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.

3.实数指数幂的运算性质

aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R.

4.指数函数的概念

函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.

5.指数函数的图象与性质



a>1

00时,y>1;

当x1;

当x>0时,00,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.

2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0d>1>a>b>0.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y=2x-1是指数函数.()

(2)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).()

(3)2-3>2-4.()

(4)若am0,且a≠1),则m0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,(1)错误.

(2)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.

故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(2)错误.

(4)m与n的大小关系与a的取值有关,(4)错误.

2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为12,则实数a的值为()

A.2B.23

C.32D.12

答案CD

解析当a>1时,y=ax在[0,1]上单调递增,

此时f(1)-f(0)=a-a0=a-1=12,

解得a=32;

当0b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

答案C

解析因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.

4.(人教A必修一P110T8改编)已知a12+a-12=3,则a+a-1=;a2+a-2=.

答案747

解析由a12+a-12=3,得a+a-1+2=9,

即a+a-1=7,则a2+a-2+2=49,

即a2+a-2=47.





考点一指数幂的运算

例1化简:

(1)a43-8a13b4b23+23ab+a23÷1-23ba×3a;

(2)(0.0081)-14-3×780-1×[81-0.25+338-13]-12-10×0.02713.

解(1)原式=a13(a-8b)4b23+2a13b13+a23÷a13-2b13a13×a13

=a13(a13-2b13)(a23+2a13b13+4b23)4b23+2a13b13+a23×a13a13-2b13×a13=a13×a13×a13=a.

(2)原式=3104-14-(3×1)-1×[3-1+32-1]-12-10×[(0.3)3]13

=310-1-13×13+23-12-10×0.3

=103-13-3=0.

思维建模1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:

(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加.

(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.

训练1(1)(多选)已知a+a-1=3,则下列选项正确的是()

A.a2+a-2=7B.a12-a-12=±1

C.a12+a-12=±5D.a32+a-32=25

答案ABD

解析将a+a-1=3两边平方,得

(a+a-1)2=a2+2+a-2=9,

所以a2+a-2=7,故A正确;

因为(a12-a-12)2=a-2+a-1=3-2=1,a12,a-12的大小不确定,

所以a12-a-12=±1,故B正确;

因为(a12+a-12)2=a+2+a-1=3+2=5,

又因为a12>0,a-12>0,所以a12+a-12=5,故C错误;

由立方和公式,可得a32+a-32=(a12)3+(a-12)3=(a12+a-12)(a-1+a-1)=5×(3-1)=25,故D正确.

(2)8116-14+823(-3)2-2×(6-2)-1+330+3614=.

答案1

解析8116-14+823(-3)2-2×(6-2)-1+330+3614

=324-14+43-2×6+22+1+6

=23+43-(6+2)+1+6

=1.

考点二指数函数的图象及应用

例2(1)(多选)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是()



答案AD

解析当x=1时,f(1)=a-2a=-a1时,若3a=6b=k,则01,则3a0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是.

答案0,12

解析y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的.

当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;

当0c,a>c,

又a12=38=34×34=812=6561,b12=29=512,所以c23,所以由函数y=2x在R上单调递增可得,234>223,即b>c.

下面我们比较a与b,

a=323=(32)13=913,b=234=(23)14=814,

由指数函数与幂函数性质可得8140,

∴01),q:2x+1-x1时,y=ax是增函数,

∴p:{x|xm-3

C.3m0时,2x>1,2x-1>0,22x-1>0,

所以22x-1+a>a;

当x0,则a43·a34=a

B.若m8=2,则m=±82

C.若a+a-1=3,则a12+a-12=±5

D.4(2-π)4=2-π

答案B

解析对于A,根据分数指数幂的运算法则,

可得a43·a34=a43+34=a2512,

当a=1时,a2512=a;

当a≠1时,a2512≠a,故A错误;

对于B,m8=2,故m=±82,故B正确;

对于C,a+a-1=3,则a12+a-122=a+a-1+2=3+2=5,

因为a>0,所以a12+a-12=5,故C错误;

对于D,4(2-π)4=|2-π|=π-2,故D错误.

2.(2025·重庆诊断)已知f(x)=2x2ax-1为奇函数,则f(1)=()

A.23B.-23

C.2D.-2

答案A

解析由题意可知f(x)+f(-x)=2x2ax-1+2-x2-ax-1=2x2ax-1+2-x·2ax1-2ax=2x-2-x+ax2ax-1=0,

所以2x-2-x+ax=0,所以x-(-x+ax)=0,

解得a=2,所以f(x)=2x22x-1,故f(1)=24-1=23.

3.已知函数f(...