第7节 向量法、几何法求空间角

课标要求1.理解空间角的概念.2.会用向量法、几何法求空间角.



【知识梳理】

1.两条异面直线所成角的求法

(1)几何法:平移法.

(2)向量法:设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cosθ=|cos|=u·v|u||v|=|u·v||u||v|.

2.直线和平面所成角的求法

(1)几何法:求直线与平面所成的角的关键是作出直线在平面上的射影,常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质确定直线在平面上的射影.

(2)向量法:直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos|=u·n|u||n|=|u·n||u||n|.

3.平面与平面的夹角

(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

(2)两平面夹角的求法

①几何法:找到二面角的棱的一个垂面,即可确定平面角(夹角与其相等或互补).

②向量法:设平面α,β的法向量分别是n1,n2,平面α与平面β的夹角为θ,则

cosθ=|cos|=n1·n2|n1||n2|=|n1·n2||n1||n2|.

[常用结论与微点提醒]

1.确定平面的法向量的方法

(1)直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.

(2)待定系数法:取平面的两个相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由n·a=0,n·b=0求得.

2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

3.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角.()

(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角.()

(4)两异面直线所成角的范围是0,π2,直线与平面所成角的范围是0,π2,二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是0,π2.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

解析(1)两直线的方向向量的夹角是两条直线所成的角或其补角;(2)直线的方向向量u,平面的法向量n,直线与平面所成的角为θ,则sinθ=|cos|;(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角.

2.(苏教选修二P35T1(2)改编)若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()

A.α∥βB.α⊥β

C.α,β相交但不垂直D.以上均不正确

答案C

解析因为n1·n2=-6-3-20≠0,

所以n1与n2不垂直,故两个平面不垂直.

又n1与n2不共线,所以α与β不平行,

所以α,β相交但不垂直.

3.(苏教选修二P35T1(2)改编)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos=-12,则直线l与平面α所成的角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案A

解析设直线l与平面α所成的角为θ,

则sinθ=|cos|=12,

所以直线l与平面α所成的角为30°.

4.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()

A.π4B.3π4

C.π4或3π4D.π2或3π4

答案C

解析∵m=(0,1,0),n=(0,1,1),

∴m·n=1,|m|=1,|n|=2,

若两平面所成的二面角为θ,

则|cosθ|=|cos|=|m·n||m||n|=22,

∴两平面所成的二面角为π4或3π4.



考点一异面直线所成的角

例1(1)(2025·佛山模拟)正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图,已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2,M,N分别为棱AD,AC的中点,则直线BN和FM夹角的余弦值为()



A.56B.116

C.216D.156

答案D

解析法一连接BD,AF交于点O,连接OC,

易知OC,OD,OA两两垂直,如图,建立空间直角坐标系O-xyz,



则B(0,-2,0),C(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,0),F(0,0,-2),

所以N22,0,22,M0,22,22,

BN=22,2,22,FM=0,22,322,

所以|cos|=|BN·FM||BN||FM|=523×5=156,

即直线BN和FM夹角的余弦值为156.

法二由题意,可得BN=AN-AB=12AC-AB,

FM=FD+DM=BA+DM=-12AD-AB,

连接BD(图略),由正八面体ABCDEF的棱长都是2,且各个面都是等边三角形,易知四边形BCDE为正方形,

在△ABD中,由AB=AD=2,

可得AB2+AD2=BD2,

所以AB⊥AD,

所以FM·BN=-12AD-AB·12AC-AB

=-14AD·AC+12AD·AB-12AB·AC+AB2

=-14×2×2×12+0-12×2×2×12+22

=-12-1+4=52,

|BN|=12AC-AB2

=14AC2-AC·AB+AB2

=14×22-2×2×12+22=3,

|FM|=-12AD-AB2

=14AD2+AD·AB+AB2

=14×22+0+22=5,

所以|cos|=|FM·BN||FM||BN|=525×3=156,

即直线BN和FM夹角的余弦值为156.

(2)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,点F在线段AD上,且AF=λAD,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210,则λ的值为.



答案13

解析以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略).

正方体的棱长为2,则

A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0).

所以D1E=(0,2,-1),

A1F=A1A+AF=A1A+λAD

=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2).

则|cos|=|A1F·D1E||A1F|·|D1E|

=22λ2+1·5,所以225·λ2+1=3210,

解得λ=13(舍去-13).

思维建模1.用向量法求异面直线所成的角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系;

(2)求出两直线的方向向量v1,v2;

(3)代入公式|cos|=|v1·v2||v1||v2|求解.