第7节 抛物线

课标要求1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.



【知识梳理】

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形









标准

方程

y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)



p的几何意义:焦点F到准线l的距离

性

质

顶点

O(0,0)



对称轴

y=0

x=0



焦点

Fp2,0

F-p2,0

F0,p2

F0,-p2



离心率

e=1



准线方程

x=-p2

x=p2

y=-p2

y=p2



范围

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

y≥0,x∈R

y≤0,x∈R



开口方向

向右

向左

向上

向下



焦半径

x0+p2

p2-x0

y0+p2

p2-y0



焦点弦

x1+x2+p

p-x1-x2

y1+y2+p

p-y1-y2

[常用结论与微点提醒]

1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点Fp2,0的距离|PF|=x0+p2,也称为抛物线的焦半径.

3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点,则|AB|=x1+x2+p,也称为抛物线的焦点弦.

4.抛物线定义中,如果定点F在直线l上,此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线.

5.不同的方程中,焦半径公式、焦点弦公式也不相同.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()

(2)y2=2px(p>0)中p越大,抛物线的开口越大.()

(3)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形.()

(4)焦点弦最短长度为p.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

解析(1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线.

(4)焦点弦最短时,该弦与对称轴垂直,长度为2p.

2.(苏教选修一P116T原题)抛物线y=2x2的焦点坐标是()

A.12,0B.18,0

C.0,12D.0,18

答案D

解析抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y,

所以焦点在y轴,由2p=12,所以焦点坐标为0,18.

3.(人教A选修一P134例3改编)(多选)顶点在原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(2,-22)的抛物线方程为()

A.x2=-2yB.y2=-2x

C.y2=4xD.x2=4y

答案AC

解析当抛物线的焦点在x轴上时,

设方程为y2=2px(p>0),

∴(-22)2=2p×2,

解得p=2,∴y2=4x.

当抛物线的焦点在y轴上时,

设方程为x2=-2py(p>0),

∴22=-2p×(-22),

解得p=22,∴x2=-2y.

4.(人教B选修一P164例2改编)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为.

答案352

解析设点P的坐标为(x,y),

则x2=-5y,而且|PA|2=x2+(y+3)2=y2+y+9=y+122+354,

又因为y≤0,所以y=-12时,|PA|min2=354.

因此所求最小值为352.



考点一抛物线的定义和标准方程

例1(1)(2025·长沙模拟)在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状,例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶,因为这种形状可以提供良好的结构稳定性,并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞机库,它的一个纵截面呈抛物线形,将其置于平面直角坐标系xOy中,如图2.已知该飞机库的底面宽度约为96m,高度约为60m,则此纵截面所在抛物线的方程为()



A.x2=-1925yB.x2=-965y

C.x2=-752yD.x2=-75y

答案A

解析由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0),

由题意知点(48,-60)在该抛物线上,

将(48,-60)代入抛物线方程,得482=-2p×(-60),解得p=965,

则抛物线的方程为x2=-1925y.

(2)(2024·天津卷)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为.

答案45

解析由题意知圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),则F(1,0),

故p2=1,p=2,

由抛物线的定义得|AF|=xA+1=5,得xA=4.

由对称性不妨设A(4,4),

则直线AF的方程为y=43(x-1),

即4x-3y-4=0,

所以原点到直线AF的距离是442+(-3)2=45.

思维建模1.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.

2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

训练1(1)(2025·苏州质检)在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为()

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=-4xD.y2=-8x

答案D

解析由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,

由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,

所以p=4,轨迹方程为y2=-8x.

(2)(2023·北京卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=()

A.7B.6

C.5D.4

答案D

解析如图所示,因为点M到直线...