第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征

课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.



【知识梳理】

1.离散型随机变量

一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n)为X的概率分布列,简称分布列.

3.离散型随机变量的分布列的性质

(1)pi≥0(i=1,2,…,n);

(2)p1+p2+…+pn=1.

4.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

(1)均值

E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn=n∑i=1xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)方差

D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=n∑i=1(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.

5.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).

6.两点分布

(1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,A表示“失败”,定义X=1,A发生,0,A发生.如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示,

X

0

1

P

1-p

p

称随机变量X服从两点分布或0-1分布.

(2)均值与方差

若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).

[常用结论与微点提醒]

1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.

2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);

D(X)=E(X2)-(E(X))2.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()

(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.()

答案(1)√(2)×(3)√(4)√

解析对于(2),离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件,故各个概率之和等于1,故不正确.



2.(苏教选修二P146T7原题)设随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的.若P(X54.4,即E(Y)>E(X),

所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.

思维建模随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.

训练3某投资公司准备在2025年年初将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:

项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29;

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,X1的所有可能取值为300,-150.则X1的分布列为

X1

300

-150

P

79

29

∴E(X1)=300×79+(-150)×29=200(万元).

若按“项目二”投资,设获利X2万元,X2的所有可能取值为500,-300,0.则X2的分布列为:

X2

500

-300

0

P

35

13

115

∴E(X2)=500×35+(-300)×13+0×115

=200(万元).

D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,

D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000.

∴E(X1)=E(X2),D(X1)E(Y),D(X)>D(Y)

B.E(X)D(Y)

C.E(X)>E(Y),D(X)=D(Y)

D.E(X)E(Y),D(X)=D(Y).

8.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=λkk!e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为()

A.1e4B.4e4

C.94e6D.9e6

答案D

解析由题意可知P(X=2)=P(X=3),

即λ22!e-λ=λ33!e-λ,解得λ=3,

所以P(X=k)=3kk!e-3(k=0,1,2,…),

所以P(X=1)=311!·e-3=3e3,

故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率p=3e32=9e6.

二、多选题

9.(2025·南昌质检)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13,则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.D(X)=49D.D(3X+2)=4

答案AB

解析依题意P(X=0)=13,

所以P(X=1)=1-P(X=0)=23,

所以E(X)=0×13+1×23=23,

所以P(X=1)=E(X),

D(X)=23×1-23=29.

E(3X+2)=3E(X)+2=3×23+2=4,

D(3X+2)=32D(X)=32×29=2,

所以AB选项正确,CD选项错误.

10.(2025·西安调研)一盒中有7个乒乓球,其中5个未使用过,2个已使用过,现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则()

A.X的所有可能取值是3,4,5

B.X最有可能的取值...