第7节 三角函数中有关ω的范围问题

题型分析三角函数中的参数问题主要是涉及函数y=Asin(ωx+φ)中ω的求解,一般是利用所给函数的单调性、对称性、最值、零点等进行解决.

题型一三角函数的单调性与ω的关系

例1已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增,则ω的取值范围为()

A.0,83B.0,12

C.12,83D.38,2

答案B

解析法一由题意得

-ωπ4+π6≥-π2+2kπ,k∈Z,2ωπ3+π6≤π2+2kπ,k∈Z,

则ω≤83-8k,k∈Z,ω≤12+3k,k∈Z,

又ω>0,所以83-8k>0,k∈Z,12+3k>0,k∈Z,

所以k=0,则00)图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,若f(x)在(-m,m)上是增函数,则m的取值范围是()

A.0,π4B.0,π2

C.0,3π4D.0,3π2

答案B

解析由题意知,12T=2π,即T=4π,则ω=2π4π=12,

则f(x)=sin12x+π4,

由2kπ-π2≤12x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),

得4kπ-3π2≤x≤4kπ+π2(k∈Z),

所以f(x)在-3π2,π2上是增函数,

由(-m,m)?-3π2,π2得00)的图象在区间[0,π]上恰有5条对称轴,则ω的取值范围为()

A.174,214B.174,254

C.174,254D.334,414

答案A

解析法一由已知得,f(x)=2sinωx+π4,

令ωx+π4=kπ+π2,k∈Z,得x=(4k+1)π4ω,k∈Z,

依题意知,满足0≤(4k+1)π4ω≤π,

即0≤4k+1≤4ω的整数k有5个,

所以k=0,1,2,3,4,则4×4+1≤4ω0)的图象向右平移3π2ω个单位长度得到函数g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点π3,0对称,则ω可取的值为()

A.13B.12

C.1D.4

答案CD

解析将函数f(x)的图象向右平移3π2ω个单位长度,得到函数g(x)=sinωx-3π2ω+π6=sinωx+π6-3π2=cosωx+π6,

又因为F(x)=f(x)g(x)的图象关于点π3,0对称,

所以F(x)=sinωx+π6cosωx+π6

=12sin2ωx+π3的图象关于点π3,0对称,

则2ω·π3+π3=kπ,k∈Z,

所以ω=3k-12,k∈Z,

又因为ω>0,所以ω的最小值为1,

故ω可取的值为1,4.

题型三三角函数的最值与ω的关系

例3(2025·烟台质检)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,φ≤π2,-π4为f(x)的零点,且f(x)≤fπ4恒成立,f(x)在区间-π12,π24上有最小值无最大值,则ω的最大值是()

A.11B.13

C.15D.17

答案C

解析由题意,直线x=π4是f(x)的一条对称轴,所以fπ4=±1,

即π4ω+φ=k1π+π2,k1∈Z,①

又f-π4=0,

所以-π4ω+φ=k2π,k2∈Z,②

由①②,得ω=2(k1-k2)+1,k1,k2∈Z,

又f(x)在区间-π12,π24上有最小值无最大值,

所以T≥π24--π12=π8,

即2πω≥π8,解得ω≤16.

综上,先检验ω=15,

当ω=15时,由①得π4×15+φ=k1π+π2,k1∈Z,

即φ=k1π-13π4,k1∈Z,

又|φ|≤π2,所以φ=-π4,

此时f(x)=sin15x-π4,

当x∈-π12,π24时,15x-π4∈-3π2,3π8,

当15x-π4=-π2,即x=-π60时,f(x)取得最小值,无最大值,满足题意.

故ω的最大值为15.

思维建模利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.

训练3(2025·广州模拟)已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,π2内有最大值,但无最小值,则ω的取值范围是()

A.23,83B.16,56

C.23,56D.16,83

答案A

解析因为ω>0,所以当00)满足fπ8=f5π8.若f(x)在π8,5π8上恰好有一个最小值和一个最大值,则ω=;若f(x)在π8,5π8上恰好有两个零点,则ω的取值范围是.

答案4103,4,6

解析因为f(x)=sinωx+cosωx

=2sinωx+π4,

设f(x)的最小正周期为T,

若f(x)在π8,5π8上恰好有一个最小值和一个最大值,且fπ8=f5π8,

则T=5π8-π8=π2,所以ω=2πT=4.

若f(x)在π8,5π8上恰好有两个零点,

则T20,可得20)在区间π2,3π2上恰有两个零点,则ω的取值范围是()

A.2315,115

B.2315,115

C.2315,115∪135,4315

D.2315,115∪135,4315

答案C

解析由题可知T20)图象的两条相邻的对称轴,则ω=()

A.2B.32

C.1D.12

答案A

解析依题意得函数f(x)的最小正周期T=2πω=2×3π4-π4=π,解得ω=2.

2.若π8,0是函数f(x)=sinωx+cosωx图象的一个对称中心,则ω的一个取值是()

A.2B.4

C.6D.8

答案C

解析因为f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+π4,

由题意,知fπ8=2sinωπ8+π4=0,

所以ωπ8+π4=kπ(k∈Z),

即ω=8k-2(k∈Z),当k=1时,ω=6.

3.(2024·北京卷)设函数f(x)=sinωx(ω>0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为π2,则ω=()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析因为f(x)=sinωx∈[-1,1],且f(x1)=-1,f(x2)=1,x1,x2分别为f(x)的最小值点与最大值点,

所以|x1-x2|min=T2,

所以f(x)的最小正周期T=2×π2=π,

所以ω=2πT=2.

4.(2025·长郡中学、杭州二中、南京师大附中联考)已知函数f(x)=(sinx-3cosx)cosx,若f(x)在区间-π3,θ上是单调函数,则实数θ的取值范围是()

A.π6,π3B.-π6,π3

C.-π3,-π12D.-π3,π12

答案C

解析f(x)=sinxcosx-3cos2x

=12sin2x-3·1+cos2x2

=12sin2x-32cos2x-32

=sin2x-π3-32,

令t=2x-π3,则y=sint-32,

因为x∈-π3,θ,所以t∈-π,2θ-π3,

又因为f(x)在区间-π3,θ上是单调函数,

则y=sint-32在区间-π,2θ-π3上是单调函数,所以-π0),f(x1)=f(x2)=22,|x1-x2|的最小值为2π3,则ω=()

A.12B.1

C.2D.3

答案A

解析f(x)=2cos2ωx+sin2ωx-1

=cos2ωx+sin2ωx=2sin2ωx+π4.

因为f(x1)=f(x2)=22,

所以2sin2ωx1+π4=2sin2ωx2+π4=22,

即sin2ωx1+π4=sin2ωx2+π4=12,

不妨令2ωx1+π4=π6+2k1π(k1∈Z),

2ωx2+π4=5π6+2k2π(k2∈Z),

x1=k1π-π24ω(k1∈Z),x2=k2π+7π24ω(k2∈Z),

则|x1-x2|=(k...