第7节 对数与对数函数（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第7节对数与对数函数
课标要求1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
【知识梳理】
1.对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②logaMN=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
01时,y>0;
当01时,y0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换.
[常用结论与微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=1logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)logambn=nmlogab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),1a,-1.
3.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故01时,若logax>logbx,则a0,且a≠1)为对数函数,故(1)错误.
(3)若01时,logax>logbx,故(3)错误.
2.(北师大必修一P105例4(1)改编)计算:log4259+log23-log0.515=.
答案0
解析原式=log4259+log49-log425
=log4259×9÷25=log41=0.
3.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)m-1>0,解得m>1.
4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则a,b,c的大小关系为.
答案a>b>c
解析法一如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象,
由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46,
即a>b>c.
法二易知0>log60.4>log60.3>log60.2,
所以1log60.4b>c.
考点一对数的运算
例1(1)(2025·丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)=()
A.-2B.12
C.22D.1
答案B
解析由2a=3,3b=5,5c=4,
可得a=log23,b=log35,c=log54,
所以abc=log23×log35×log54
=lg3lg2×lg5lg3×lg4lg5=2,
则log4(abc)=log42=12.
(2)计算:(1-log63)2+log62·log618log64=.
答案1
解析原式=1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63)log64
=1-2log63+(log63)2+1-(log63)2log64
=2(1-log63)2log62=log66-log63log62=log62log62=1.
思维建模1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
训练1(1)计算:log535+2log122-log5150-log514=.
答案2
解析原式=log535-log5150-log514+log12(2)2
=log535150×14+log122=log5125-1=log553-1
=3-1=2.
(2)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.
答案b-a+12b+a
解析log1815=lg15lg18=lg3+lg5lg2+2lg3
=lg3+1-lg2lg2+2lg3=b-a+12b+a.
考点二对数函数的图象及应用
例2(1)(多选)(2025·青岛调研)已知ax=b-x,函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是()
答案AB
解析因为ax=b-x,即ax=1bx,
所以a=1b,
当a>1时,01,
同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且过点(0,1),
y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增,且过点(-1,0),故B符合题意.
(2)已知函数f(x)=|log3x|,若a1+41=5,
故a+4b的取值范围是(5,+∞).
思维建模对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
训练2(1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()
A.01.
函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),
由函数图象可知-1xB.x+y>1
C.xyx,故A正确;
∵x+y=log123+log124=log1212=1,∴B错误;
∵x>0,y>0,∴xy≤x+y22=14,
当且仅当x=y时等号成立,而xf23
D.f90.1-12>f30.18-12
答案ACD
解析由题可得,f(x)=lgx-122+10≥lg10=1,
当且仅当x=12时,f(x)取得最小值1,A正确;
因为当且仅当x=12时,f(x)取得最小值1,
所以f(1)>1,所以f(1)+f(x)>2,B错误;
因为016.
23-12=16,
设g(x)=x2-x+414=x-122+10,
则g(x)的图象关于直线x=12对称,
g(log92)>g23>0,
又y=lgx在定义域上是增函数,
所以f(log92)>f23,C正确;
因为90.1=30.2>30.18>1,
所以90.1-12>30.18-12>12,
又f(x)在12,+∞上单调递增,
所以f90.1-12>f30.18-12,D正确.
思维建模利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复...
课标要求1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
【知识梳理】
1.对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②logaMN=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
(3)换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
01时,y>0;
当01时,y0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.它们的定义域和值域正好互换.
[常用结论与微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=1logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)logambn=nmlogab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),1a,-1.
3.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故01时,若logax>logbx,则a0,且a≠1)为对数函数,故(1)错误.
(3)若01时,logax>logbx,故(3)错误.
2.(北师大必修一P105例4(1)改编)计算:log4259+log23-log0.515=.
答案0
解析原式=log4259+log49-log425
=log4259×9÷25=log41=0.
3.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)m-1>0,解得m>1.
4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则a,b,c的大小关系为.
答案a>b>c
解析法一如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象,
由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46,
即a>b>c.
法二易知0>log60.4>log60.3>log60.2,
所以1log60.4b>c.
考点一对数的运算
例1(1)(2025·丹东模拟)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4(abc)=()
A.-2B.12
C.22D.1
答案B
解析由2a=3,3b=5,5c=4,
可得a=log23,b=log35,c=log54,
所以abc=log23×log35×log54
=lg3lg2×lg5lg3×lg4lg5=2,
则log4(abc)=log42=12.
(2)计算:(1-log63)2+log62·log618log64=.
答案1
解析原式=1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63)log64
=1-2log63+(log63)2+1-(log63)2log64
=2(1-log63)2log62=log66-log63log62=log62log62=1.
思维建模1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
训练1(1)计算:log535+2log122-log5150-log514=.
答案2
解析原式=log535-log5150-log514+log12(2)2
=log535150×14+log122=log5125-1=log553-1
=3-1=2.
(2)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.
答案b-a+12b+a
解析log1815=lg15lg18=lg3+lg5lg2+2lg3
=lg3+1-lg2lg2+2lg3=b-a+12b+a.
考点二对数函数的图象及应用
例2(1)(多选)(2025·青岛调研)已知ax=b-x,函数y=loga(-x)与y=bx的图象可能是()
答案AB
解析因为ax=b-x,即ax=1bx,
所以a=1b,
当a>1时,01,
同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且过点(0,1),
y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增,且过点(-1,0),故B符合题意.
(2)已知函数f(x)=|log3x|,若a1+41=5,
故a+4b的取值范围是(5,+∞).
思维建模对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
训练2(1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()
A.01.
函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),
由函数图象可知-1xB.x+y>1
C.xyx,故A正确;
∵x+y=log123+log124=log1212=1,∴B错误;
∵x>0,y>0,∴xy≤x+y22=14,
当且仅当x=y时等号成立,而xf23
D.f90.1-12>f30.18-12
答案ACD
解析由题可得,f(x)=lgx-122+10≥lg10=1,
当且仅当x=12时,f(x)取得最小值1,A正确;
因为当且仅当x=12时,f(x)取得最小值1,
所以f(1)>1,所以f(1)+f(x)>2,B错误;
因为016.
23-12=16,
设g(x)=x2-x+414=x-122+10,
则g(x)的图象关于直线x=12对称,
g(log92)>g23>0,
又y=lgx在定义域上是增函数,
所以f(log92)>f23,C正确;
因为90.1=30.2>30.18>1,
所以90.1-12>30.18-12>12,
又f(x)在12,+∞上单调递增,
所以f90.1-12>f30.18-12,D正确.
思维建模利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复...
