第7节 数列的重构问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
- 草料大小:120K
- 草料种类:试卷
- 种草时间:2025/6/23 15:14:00
- 小草编号：4610733
- 种 草 人:太阳花，欢迎分享资料。
- 采摘:1 片叶子 0 朵小花
- 版权声明:资料版权归原作者，如侵权请联系删除
- 论文写作：职称论文及课题论文写作（提供查重报告）
- 论文发表：淘宝交易，先发表再确认付款。
下载地址::（声明：本站为非盈利性网站。资料版权为原作者所有，如侵权请联系均无条件删除）
资料下载说明::请下完一个再下另外一个，谢谢！
文件简介::
第7节 数列的重构问题
题型分析数列的重构问题是指在一个数列中通过增项、减项或提取两个数列的公共项,或者把数列的项限定在某一范围内重新构造一个新的数列,求解此类问题要清楚新数列的项、项数与原数列的联系.
题型一增项问题
例1已知公差不为0的等差数列{an}中,a1=1,a4是a2和a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T20的值.
解(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),
因为a4是a2和a8的等比中项,
所以a42=a2·a8,
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),
因为a1=1,
所以d=1或d=0(舍).
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)得an=n,
因为在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k,
所以在数列{bn}的前20项中,有10项来自{an},10项来自{2n},
所以T20=1+21+2+22+…+10+210=1+102×10+2(1-210)1-2=2101.
思维建模对于增项问题注意两点:(1)新的数列是如何构成的、与原数列有什么关系,(2)新数列的项数是多少,其中有多少项是原数列中的项,有多少项是新增加的.
训练1已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)保持{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1之间插入k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值(用数字作答).
解(1)由数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1,
当n≥2时,Sn-1=2n-1+1,
所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,n≥2,
当n=1时,a1=S1=21+1=3,不符合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=3,n=1,2n-1,n≥2.
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入k个1,
则新数列{bn}的前100项为3,1,21,1,1,22,1,1,1,23,1,1,1,1,24,…,212,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
则T100=[3+(21+22+…+212)]+[(1+2+3+…+12)+9]
=90+213-2=88+213=8192+88=8280.
题型二减项问题
例2已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r,其中r为常数.
(1)求r的值;
(2)设bn=2(1+log2an),若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn},求c1+c2+c3+…+c100的值.
解(1)因为Sn=2n+r,
所以a1=S1=2+r,a1+a2=S2=4+r,
即a2=2,
a1+a2+a3=S3=8+r,即a3=4,
由{an}是等比数列可知,a22=a1a3,
所以4=(2+r)×4,即r=-1.
此时Sn=2n-1,a1=2+r=1,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,
且a1=1也适合该式,
故an=2n-1是等比数列,即r=-1满足题意.
所以r=-1.
(2)bn=2(1+log2an)=2(1+log22n-1)=2n,
因为a1=1,a2=2=b1,a3=4=b2,a4=8=b4,a5=16=b8,a6=32=b16,a7=64=b32,a8=128=b64,a9=256=b128.
所以c1+c2+c3+…+c100
=(b1+b2+…+b107)-(a2+…+a8)
=107×(2+214)2-2(1-27)1-2=11302.
思维建模解决减项问题的关键是明确被减掉的项是以何种规律去掉的,共多少项,保留的数列有多少项.
训练2(2025·汕头模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,点n,Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上,数列{an},{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+(n-1)·2n+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{an}中去掉和数列{bn}中相同的项后,余下的项按原来的顺序组成数列{cn},且数列{cn}的前n项和为Tn,求T100.
解(1)∵点n,Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上,∴Snn-Sn-1n-1=12(n≥2,n∈N*),
又S11=a1=1,
∴数列Snn是以1为首项,12为公差的等差数列,
∴Snn=n+12,∴Sn=n2+n2(n∈N*).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n,
当n=1时,a1=1满足上式,
∴an=n(n∈N*).
∵数列{an},{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+(n-1)·2n+1,
∴当n≥2时,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=2+(n-2)·2n,
两式相减,得anbn=n·2n(n≥2),
当n=1时,a1b1=2+(1-1)×21+1=2=1×21,满足上式,
∴anbn=n·2n(n∈N*),
∴bn=2n(n∈N*).
(2)设数列{an}的前p项中有数列{bn}的q项,p-q=100,
则2q≤p,即2q≤100+q.
易得满足2q≤100+q的最大正整数q为6,
∴数列{cn}的前100项,由数列{an}中的前106项去掉和数列{bn}中相同的6项得到,
∴T100=S106-(2+22+…+26)
=(1+106)×1062-2×(1-26)1-2=5545.
题型三公共项问题
例3已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n2,{bn}为等比数列,公比为2,且b1,b2+1,b3为等差数列.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn},求数列{cn}的前n项和Tn.
解(1)由Sn=3n2+n2得,
当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
当n=1时,上式也成立,
所以an=3n-1.
依题意,b1+b3=2(b2+1),
b1+b1·22=2(b1·2+1),
解得b1=2,所以bn=2n.
(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21,23,25,27,…,
所以21,23,25,27,…构成首项为2,公比为4的等比数列,
所以cn=2×4n-1,
则Tn=c1+c2+…+cn=2(1-4n)1-4=2(4n-1)3.
思维建模两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列,且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数,一个等差与一个等比数列的公共项,则要通过其项数之间的关系来确定.
训练3(2025·泉州质检)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=4,b1=2,a2=2b2-1,a3=b3+2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A,B,将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前60项和S60.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由4+d=2·2q-1,4+2d=2·q2+2,∴d=4q-5,d=q2-1,
∴q=2,d=3,∴an=3n+1,bn=2n.
(2)当{cn...
题型分析数列的重构问题是指在一个数列中通过增项、减项或提取两个数列的公共项,或者把数列的项限定在某一范围内重新构造一个新的数列,求解此类问题要清楚新数列的项、项数与原数列的联系.
题型一增项问题
例1已知公差不为0的等差数列{an}中,a1=1,a4是a2和a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T20的值.
解(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),
因为a4是a2和a8的等比中项,
所以a42=a2·a8,
即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),
因为a1=1,
所以d=1或d=0(舍).
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)得an=n,
因为在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k,
所以在数列{bn}的前20项中,有10项来自{an},10项来自{2n},
所以T20=1+21+2+22+…+10+210=1+102×10+2(1-210)1-2=2101.
思维建模对于增项问题注意两点:(1)新的数列是如何构成的、与原数列有什么关系,(2)新数列的项数是多少,其中有多少项是原数列中的项,有多少项是新增加的.
训练1已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)保持{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1之间插入k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值(用数字作答).
解(1)由数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1,
当n≥2时,Sn-1=2n-1+1,
所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,n≥2,
当n=1时,a1=S1=21+1=3,不符合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=3,n=1,2n-1,n≥2.
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入k个1,
则新数列{bn}的前100项为3,1,21,1,1,22,1,1,1,23,1,1,1,1,24,…,212,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
则T100=[3+(21+22+…+212)]+[(1+2+3+…+12)+9]
=90+213-2=88+213=8192+88=8280.
题型二减项问题
例2已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r,其中r为常数.
(1)求r的值;
(2)设bn=2(1+log2an),若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn},求c1+c2+c3+…+c100的值.
解(1)因为Sn=2n+r,
所以a1=S1=2+r,a1+a2=S2=4+r,
即a2=2,
a1+a2+a3=S3=8+r,即a3=4,
由{an}是等比数列可知,a22=a1a3,
所以4=(2+r)×4,即r=-1.
此时Sn=2n-1,a1=2+r=1,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,
且a1=1也适合该式,
故an=2n-1是等比数列,即r=-1满足题意.
所以r=-1.
(2)bn=2(1+log2an)=2(1+log22n-1)=2n,
因为a1=1,a2=2=b1,a3=4=b2,a4=8=b4,a5=16=b8,a6=32=b16,a7=64=b32,a8=128=b64,a9=256=b128.
所以c1+c2+c3+…+c100
=(b1+b2+…+b107)-(a2+…+a8)
=107×(2+214)2-2(1-27)1-2=11302.
思维建模解决减项问题的关键是明确被减掉的项是以何种规律去掉的,共多少项,保留的数列有多少项.
训练2(2025·汕头模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn,a1=1,点n,Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上,数列{an},{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+(n-1)·2n+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{an}中去掉和数列{bn}中相同的项后,余下的项按原来的顺序组成数列{cn},且数列{cn}的前n项和为Tn,求T100.
解(1)∵点n,Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上,∴Snn-Sn-1n-1=12(n≥2,n∈N*),
又S11=a1=1,
∴数列Snn是以1为首项,12为公差的等差数列,
∴Snn=n+12,∴Sn=n2+n2(n∈N*).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n,
当n=1时,a1=1满足上式,
∴an=n(n∈N*).
∵数列{an},{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+(n-1)·2n+1,
∴当n≥2时,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=2+(n-2)·2n,
两式相减,得anbn=n·2n(n≥2),
当n=1时,a1b1=2+(1-1)×21+1=2=1×21,满足上式,
∴anbn=n·2n(n∈N*),
∴bn=2n(n∈N*).
(2)设数列{an}的前p项中有数列{bn}的q项,p-q=100,
则2q≤p,即2q≤100+q.
易得满足2q≤100+q的最大正整数q为6,
∴数列{cn}的前100项,由数列{an}中的前106项去掉和数列{bn}中相同的6项得到,
∴T100=S106-(2+22+…+26)
=(1+106)×1062-2×(1-26)1-2=5545.
题型三公共项问题
例3已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n2,{bn}为等比数列,公比为2,且b1,b2+1,b3为等差数列.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn},求数列{cn}的前n项和Tn.
解(1)由Sn=3n2+n2得,
当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
当n=1时,上式也成立,
所以an=3n-1.
依题意,b1+b3=2(b2+1),
b1+b1·22=2(b1·2+1),
解得b1=2,所以bn=2n.
(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21,23,25,27,…,
所以21,23,25,27,…构成首项为2,公比为4的等比数列,
所以cn=2×4n-1,
则Tn=c1+c2+…+cn=2(1-4n)1-4=2(4n-1)3.
思维建模两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列,且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数,一个等差与一个等比数列的公共项,则要通过其项数之间的关系来确定.
训练3(2025·泉州质检)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=4,b1=2,a2=2b2-1,a3=b3+2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A,B,将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前60项和S60.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由4+d=2·2q-1,4+2d=2·q2+2,∴d=4q-5,d=q2-1,
∴q=2,d=3,∴an=3n+1,bn=2n.
(2)当{cn...
