第8节 二项分布、超几何分布与正态分布（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第8节二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.
【知识梳理】
1.n重伯努利试验
将一个伯努利试验(只包含两个可能结果的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.二项分布
(1)概念:在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参数,称f(x)为正态密度函数,函数f(x)的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
②曲线在x=μ处达到峰值1σ2π.
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
④曲线与x轴围成的面积总为1.
⑤在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,曲线越“胖”;σ越小,曲线越“瘦”,如图2所示.
(3)正态分布的概念及表示
①概念:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ2,x∈R,其中,μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
②正态分布的均值与方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
③3σ原则:如果X~N(μ,σ2),那么
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
[常用结论与微点提醒]
1.两点分布是当n=1的二项分布,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.2.当X~B(n,p)时,且P给定:
若(n+1)p是整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值.
若(n+1)p非正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.
注:若均值为正整数,则当随机变量k=np时,概率最大.
3.若X~N(μ,σ2),则P(Xμ+a).
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数,则X服从二项分布.()
(2)有放回地抽样试验是n重伯努利试验,且在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响.()
(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,…,n).
(4)服从二项分布、超几何分布及正态分布的随机变量是离散型随机变量.()
答案(1)√(2)√(3)√(4)×
解析(4)中正态分布是对于连续型随机变量而言的.
2.(北师大选修一P224T2原题)若随机变量ξ~N(μ,σ2),其分布密度函数为φ(x)=122π·e-(x-1)28(x∈R),则σ的值为()
A.1B.2
C.4D.8
答案B
解析与φ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2中对比可知σ=2.
3.(人教A选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=()
A.23B.34
C.310D.25
答案C
解析由题意,X服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=4,故P(X=2)=C32C72C104=310.
4.(苏教选修二P146T8改编)如果随机变量X~B6,13,那么D(X)=.
答案43
解析因为随机变量X~B(n,p),
所以D(X)=6×13×1-13=43.
考点一二项分布
例1(2025·福州模拟)电子商务在我国发展迅猛,网上购物已经成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖10元钱三瓶,有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖).
(1)小王花10元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种?
(2)小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差.
解(1)若三瓶口味均不一样,有C83=56(种);
若其中两瓶口味一样,有C81C71=56(种);
若三瓶口味一样,有8种.
故小王收到货的组合方式共有56+56+8=120(种).
(2)ξ所有可能的取值为0,1,2,3.
因为各种口味的口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,有8种不同口味,所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为18.
即随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B3,18.
P(ξ=0)=C30×180×1-183=343512,
P(ξ=1)=C31×181×1-182=147512,
P(ξ=2)=C32×182×1-181=21512,
P(ξ=3)=C33×183×1-180=1512.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
343512
147512
21512
1512
数学期望E(ξ)=np=3×18=38.
方差D(ξ)=np(1-p)=3×18×78=2164.
思维建模判断某随机变量服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.
(4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数.
训练1(1)(多选)(2025·徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时()
A.X服从二项分布
B.P(X=1)=881
C.X的均值E(X)=83
D.X的方差D(X)=43
答案ABC
解析由二进制数A的特点知,
每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,
故X的可能取值为0,1,2,3,4,且X的取值表示1出现的次数,
由二项分布的定义可得X~B4,23,故A正确;
P(X=1)=C41231133=881,故B正确;
因为X~B4,23,所以E(X)=4×23=83,D(X)=4×23×13=89,故C正确,D错误.
(2)(20...
课标要求1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.
【知识梳理】
1.n重伯努利试验
将一个伯努利试验(只包含两个可能结果的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2.二项分布
(1)概念:在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参数,称f(x)为正态密度函数,函数f(x)的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
②曲线在x=μ处达到峰值1σ2π.
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
④曲线与x轴围成的面积总为1.
⑤在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图1所示.σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,曲线越“胖”;σ越小,曲线越“瘦”,如图2所示.
(3)正态分布的概念及表示
①概念:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ2,x∈R,其中,μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
②正态分布的均值与方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
③3σ原则:如果X~N(μ,σ2),那么
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
[常用结论与微点提醒]
1.两点分布是当n=1的二项分布,二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布.2.当X~B(n,p)时,且P给定:
若(n+1)p是整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值.
若(n+1)p非正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.
注:若均值为正整数,则当随机变量k=np时,概率最大.
3.若X~N(μ,σ2),则P(Xμ+a).
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数,则X服从二项分布.()
(2)有放回地抽样试验是n重伯努利试验,且在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响.()
(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,…,n).
(4)服从二项分布、超几何分布及正态分布的随机变量是离散型随机变量.()
答案(1)√(2)√(3)√(4)×
解析(4)中正态分布是对于连续型随机变量而言的.
2.(北师大选修一P224T2原题)若随机变量ξ~N(μ,σ2),其分布密度函数为φ(x)=122π·e-(x-1)28(x∈R),则σ的值为()
A.1B.2
C.4D.8
答案B
解析与φ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2中对比可知σ=2.
3.(人教A选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品数,则P(X=2)=()
A.23B.34
C.310D.25
答案C
解析由题意,X服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=4,故P(X=2)=C32C72C104=310.
4.(苏教选修二P146T8改编)如果随机变量X~B6,13,那么D(X)=.
答案43
解析因为随机变量X~B(n,p),
所以D(X)=6×13×1-13=43.
考点一二项分布
例1(2025·福州模拟)电子商务在我国发展迅猛,网上购物已经成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页的界面上打出广告:高级口香糖10元钱三瓶,有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味).小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶,且各种口味的瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应的口香糖).
(1)小王花10元钱买三瓶,请问小王收到货的组合方式共有多少种?
(2)小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列,并计算其数学期望和方差.
解(1)若三瓶口味均不一样,有C83=56(种);
若其中两瓶口味一样,有C81C71=56(种);
若三瓶口味一样,有8种.
故小王收到货的组合方式共有56+56+8=120(种).
(2)ξ所有可能的取值为0,1,2,3.
因为各种口味的口香糖均超过3瓶,且各种口味的瓶数相同,有8种不同口味,所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为18.
即随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B3,18.
P(ξ=0)=C30×180×1-183=343512,
P(ξ=1)=C31×181×1-182=147512,
P(ξ=2)=C32×182×1-181=21512,
P(ξ=3)=C33×183×1-180=1512.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
343512
147512
21512
1512
数学期望E(ξ)=np=3×18=38.
方差D(ξ)=np(1-p)=3×18×78=2164.
思维建模判断某随机变量服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.
(4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数.
训练1(1)(多选)(2025·徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时()
A.X服从二项分布
B.P(X=1)=881
C.X的均值E(X)=83
D.X的方差D(X)=43
答案ABC
解析由二进制数A的特点知,
每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,
故X的可能取值为0,1,2,3,4,且X的取值表示1出现的次数,
由二项分布的定义可得X~B4,23,故A正确;
P(X=1)=C41231133=881,故B正确;
因为X~B4,23,所以E(X)=4×23=83,D(X)=4×23×13=89,故C正确,D错误.
(2)(20...
