第8节 向量法、几何法求空间距离

课标要求能用向量法、几何法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.



【知识梳理】

1.点P到直线l的距离

如图1,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=|AP|2-|AQ|2=a2-(a·u)2.



图1图2

2.点P到平面α的距离

如图2,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=AP·nn=|AP·n|n.

说明:线面距和面面距可转化成点面距求解.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.()

(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.()

(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.()

(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.()

答案(1)×(2)×(3)√(4)×

解析(1)当平面α上三点在平面β的两侧时,α与β相交.

(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线,该点与垂足之间的距离.

(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时,l与平面α相交.

2.(人教A选修一P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n=(1,2,1),向量AF=0,12,0,则点F到平面ABC的距离为.

答案66

解析由题意,点F到平面ABC的距离为

|AF·nn=0,12,0·(1,2,1)6=66.

3.(人教A选修一P35T1改编)已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=22,0,22为l的一个单位方向向量,则点P(4,3,2)到l的距离为.

答案22

解析因为PA=(-2,0,-1),

且n=22,0,22为l的一个单位方向向量,

故点P到l的距离为d=|PA|2-(PA·n)2=5--2-222=22.

4.(苏教选修二P52T8改编)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离为.

答案67

解析如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,



则A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),

则AC=(-2,1,0),BC1=(-2,0,3),

设AC和BC1的公垂线的方向向量n=(x,y,z),

则n·AC=0,n·BC1=0,即-2x+y=0,-2x+3z=0,

令x=3,则n=(3,6,2),

∵AB=(0,1,0),∴异面直线AC和BC1之间的距离为d=|AB·n|n=67.



考点一向量法求点到直线的距离

例1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为()



A.135B.137

C.157D.167

答案A

解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,



则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),

则BP=(-3,0,1),BD=(-3,4,0),

法一点P到直线BD的距离d=|BP|2-BP·BD|BD|2=10-952=135,

所以点P到直线BD的距离为135.

法二cos=BP·BD|BP||BD|

=910×5=91050,

所以sin=131050,

所以点P到直线BD的距离为|BP|sin=10×131050=135.

思维建模利用向量求解点M到直线AB的距离问题的常用方法:

(1)勾股定理法.求向量AM在向量AB上投影向量的长度,则其与|AM|和所求距离是直角三角形三条边的长,进而利用勾股定理即可得到答案.

(2)三角函数法.通过向量夹角公式求得cos,再由平方关系求得sin,进而通过|AM|sin即可得到答案.

训练1(2024·青岛质检)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵,在堑堵ABC-A1B1C1中,若AB=BC=AA1=2,且P为线段BA1的中点,则点P到直线B1C的距离为()

A.2B.62

C.32D.22

答案B

解析根据堑堵的定义,可知三棱柱ABC-A1B1C1是底面为直角三角形的直三棱柱,

建立以B为原点的空间直角坐标系,如图所示.



则B(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C(0,2,0),

P(1,0,1),

故B1C=(0,2,-2),B1P=(1,0,-1).

法一cos=B1C·B1P|B1C||B1P|

=222×2=12,

所以sin=32.

设点P到直线B1C的距离为

|B1P|sin=2×32=62.

法二点P到直线B1C的距离为B1P2-B1P·B1C|B1C|2=(2)2-2222=62.

考点二向量法求点到平面的距离

例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过AB1E的平面截正方体,得到如图所示的多面体,F为棱CC1上的动点.



(1)点H在棱BC上,当CH=14CB时,FH∥平面AEB1,试确定动点F在棱CC1上的位置,并说明理由;

(2)若AB=2,求点D到平面AEF的最大距离.

解(1)取BC的中点G,



则CG的中点为H,连接C1G,

过点H做HF∥GC1,交C1G于点F,

则中点F满足条件.

证明如下:

由题意可得△ED1C1≌△GBA,所以EC1=GA,

同理EA=C1G,所以四边形EC1GA为平行四边形,

所以C1G∥AE,又FH∥C1G,所以FH∥AE,

又FH?平面AEB1,AE?平面AEB1,

所以FH∥平面AEB1.

又因为FH∥C1G,H为CG的中点,

所以F为CC1的中点.

(2)以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,

则有D(0,0,0),A(2,0,0),E(1,0,2),

设F(0,2,t),t∈[0,2],

所以AE=(-1,0,2),AF=(-2,2,t),DA=(2,0,0).

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),

则有n·AE=0,n·AF=0,即-x+2z=0,-2x+2y+tz=0,

令x=4,则y=4-t,z=2,

所以n=4,4-t,2,

所以点D到平面AEF的距离d=DA·nn=820+(4-t)2,

又t∈[0,2],所以43≤d≤263,

当t=2,即点F与点C1重合时,d取得最大值263.

所以点D到平面AEF的最大距离为263.

思维建模利用向量求点面距的步骤:

(1)求出该平面的一个法向...