第8节 圆锥曲线常见结论的应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第8节 圆锥曲线常见结论的应用
知识拓展
1.椭圆、双曲线焦点三角形中的一些结论
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
①周长2a+2c;
②面积S△PF1F2
=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ2
=c|y0|
=(a+c)r(r为内切圆半径);
③|PF1||PF2|=2b21+cosθ;
④P在短轴顶点时,θ最大
①面积S△PF1F2=12|PF1||PF2|sinθ
=b2tanθ2=c|y0|;
②|PF1||PF2|=2b21-cosθ
周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a(图①)
P在短轴顶点时,θ最大(图②)
|AF2|+|BF2|-|AB|=4a
2.椭圆、双曲线的焦半径与焦点弦
椭圆:已知P(x0,y0)是椭圆上的一点,θ为直线AB倾斜角,F1,F2为左、右焦点
双曲线:已知P(x0,y0)是双曲线上的一点,θ为直线AB倾斜角,F1,F2为左、右焦点
①|PF1|=a+ex0,
|PF2|=a-ex0;
②焦半径最小为a-c,最大为a+c(长轴两端点处)
①P在左支,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a,
P在右支,|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a(左加右减);
②同侧焦半径最小c-a,异侧最大c+a(实轴两端点处)
①通径=2b2a,为最短焦点弦;
②焦点弦长
2b2a|1-e2cos2θ;
③若AB是过焦点F的弦,则1AF+1BF=2ab2
①通径=2b2a,为最短焦点弦;
②焦点弦长2b2a|1-e2cos2θ;
③若AB是过焦点F的弦,AB交在同支时,1AF+1BF=2ab2,AB交在两支时,1AF-1BF=2ab2(AFb>0)
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
公式一
e=ca
e=ca
公式二
e=1-b2a2
e=1+b2a2(知渐近线求离心率)
公式三
e=sin(α+β)sinα+sinβ
e=ca=sin(α+β)|sinα-sinβ|
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
公式四
则有e=1+k2λ-1λ+1
=λ-1(λ+1)cosα.
注:λ=AFBF或者λ=BFAF
则有e=1+k2λ-1λ+1
=λ-1(λ+1)cosα.
注:λ=AFBF或者λ=BFAF
椭圆、
双曲线
共焦点
sin2θ2e12+cos2θ2e22=1
4.椭圆、双曲线的参数方程
(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为x=acosθ,y=bsinθ;
(2)双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)的参数方程为x=acosθ=asecθ;y=btanθ.
5.抛物线中焦点弦的几个结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1·x2=p24,y1y2=-p2;
(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=p1-cosα,|BF|=p1+cosα,弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(3)1|FA|+1|FB|=2p;
(4)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p,为最短焦点弦;
(5)S△OAB=p22sinα(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(6)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
题型一与焦点三角形有关的问题
例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为()
A.13B.12
C.9D.6
答案C
解析由椭圆C:x29+y24=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤MF1|+MF2|22=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C.
(2)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=()
A.1B.2
C.4D.8
答案A
解析由题意知,双曲线的焦点三角形面积为S△PF1F2=b2tanθ2,
∴b2tan45°=4,则b=2,
又e=ca=a2+4a=5,∴a=1.
思维建模1.与焦点三角形有关的问题,如面积、周长、焦半径、焦点弦的求解问题,公式的准确记忆与灵活选择是关键,特别是面积公式.
2.常用结论的使用在选择、填空中应用广泛,可以避免繁杂的计算,快速求解.
训练1(1)(2025·南京模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=12,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=π3,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为()
A.2B.4
C.6D.12
答案D
解析由e=12,得ca=12,即a=2c.①
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π,
所以πr2=3π,解得r=3(舍负),
在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知
S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=12r(2a+2c),
即33b2=3(a+c),②
又a2=b2+c2,③
联立①②③得c=3,a=6,b=33,
所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.
(2)已知双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上有一个点P,满足|PF1|=3|PF2|,则点P的横坐标为.
答案325
解析设点P的横坐标为x0,
由双曲线焦半径公式有
|PF1|=a+ex0,|PF2|=ex0-a,
结合条件|PF1|=3|PF2|,
则ex0+a=3(ex0-a),
又a=4,c=5,可得e=54,所以x0=325.
题型二离心率问题
例2(1)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆E上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆E的离心率的取值范围为()
A.22,1B.0,22
C.32,1D.12,1
答案A
解析法一因为PF1⊥PF2,
所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-(PF1|+PF2|)22=(PF1|+PF2|)22(当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号),
所以|F1F2|2≥(PF1|+PF2|)22.
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,
又|F1F2|=2c
所以4c2≥2a2,所以e2≥12,所以e≥22,
又ea1),半焦距为c,
由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,
椭圆和双曲线的离心率分别为e1=ca,e2=ca1,
因为P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则由余弦定理可得
4c2=m2+n2-2mncos...
知识拓展
1.椭圆、双曲线焦点三角形中的一些结论
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
①周长2a+2c;
②面积S△PF1F2
=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ2
=c|y0|
=(a+c)r(r为内切圆半径);
③|PF1||PF2|=2b21+cosθ;
④P在短轴顶点时,θ最大
①面积S△PF1F2=12|PF1||PF2|sinθ
=b2tanθ2=c|y0|;
②|PF1||PF2|=2b21-cosθ
周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a(图①)
P在短轴顶点时,θ最大(图②)
|AF2|+|BF2|-|AB|=4a
2.椭圆、双曲线的焦半径与焦点弦
椭圆:已知P(x0,y0)是椭圆上的一点,θ为直线AB倾斜角,F1,F2为左、右焦点
双曲线:已知P(x0,y0)是双曲线上的一点,θ为直线AB倾斜角,F1,F2为左、右焦点
①|PF1|=a+ex0,
|PF2|=a-ex0;
②焦半径最小为a-c,最大为a+c(长轴两端点处)
①P在左支,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a,
P在右支,|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a(左加右减);
②同侧焦半径最小c-a,异侧最大c+a(实轴两端点处)
①通径=2b2a,为最短焦点弦;
②焦点弦长
2b2a|1-e2cos2θ;
③若AB是过焦点F的弦,则1AF+1BF=2ab2
①通径=2b2a,为最短焦点弦;
②焦点弦长2b2a|1-e2cos2θ;
③若AB是过焦点F的弦,AB交在同支时,1AF+1BF=2ab2,AB交在两支时,1AF-1BF=2ab2(AFb>0)
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
公式一
e=ca
e=ca
公式二
e=1-b2a2
e=1+b2a2(知渐近线求离心率)
公式三
e=sin(α+β)sinα+sinβ
e=ca=sin(α+β)|sinα-sinβ|
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
公式四
则有e=1+k2λ-1λ+1
=λ-1(λ+1)cosα.
注:λ=AFBF或者λ=BFAF
则有e=1+k2λ-1λ+1
=λ-1(λ+1)cosα.
注:λ=AFBF或者λ=BFAF
椭圆、
双曲线
共焦点
sin2θ2e12+cos2θ2e22=1
4.椭圆、双曲线的参数方程
(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为x=acosθ,y=bsinθ;
(2)双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)的参数方程为x=acosθ=asecθ;y=btanθ.
5.抛物线中焦点弦的几个结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1)x1·x2=p24,y1y2=-p2;
(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=p1-cosα,|BF|=p1+cosα,弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(3)1|FA|+1|FB|=2p;
(4)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p,为最短焦点弦;
(5)S△OAB=p22sinα(α为弦AB所在直线的倾斜角);
(6)以弦AB为直径的圆与准线相切;
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
题型一与焦点三角形有关的问题
例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为()
A.13B.12
C.9D.6
答案C
解析由椭圆C:x29+y24=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤MF1|+MF2|22=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C.
(2)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=()
A.1B.2
C.4D.8
答案A
解析由题意知,双曲线的焦点三角形面积为S△PF1F2=b2tanθ2,
∴b2tan45°=4,则b=2,
又e=ca=a2+4a=5,∴a=1.
思维建模1.与焦点三角形有关的问题,如面积、周长、焦半径、焦点弦的求解问题,公式的准确记忆与灵活选择是关键,特别是面积公式.
2.常用结论的使用在选择、填空中应用广泛,可以避免繁杂的计算,快速求解.
训练1(1)(2025·南京模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=12,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=π3,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为()
A.2B.4
C.6D.12
答案D
解析由e=12,得ca=12,即a=2c.①
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π,
所以πr2=3π,解得r=3(舍负),
在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知
S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=12r(2a+2c),
即33b2=3(a+c),②
又a2=b2+c2,③
联立①②③得c=3,a=6,b=33,
所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.
(2)已知双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上有一个点P,满足|PF1|=3|PF2|,则点P的横坐标为.
答案325
解析设点P的横坐标为x0,
由双曲线焦半径公式有
|PF1|=a+ex0,|PF2|=ex0-a,
结合条件|PF1|=3|PF2|,
则ex0+a=3(ex0-a),
又a=4,c=5,可得e=54,所以x0=325.
题型二离心率问题
例2(1)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在椭圆E上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆E的离心率的取值范围为()
A.22,1B.0,22
C.32,1D.12,1
答案A
解析法一因为PF1⊥PF2,
所以|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-(PF1|+PF2|)22=(PF1|+PF2|)22(当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号),
所以|F1F2|2≥(PF1|+PF2|)22.
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,
又|F1F2|=2c
所以4c2≥2a2,所以e2≥12,所以e≥22,
又ea1),半焦距为c,
由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,
椭圆和双曲线的离心率分别为e1=ca,e2=ca1,
因为P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则由余弦定理可得
4c2=m2+n2-2mncos...
