第8节 指、对、幂的大小比较方法（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第8节 指、对、幂的大小比较方法
题型分析指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.
题型一求同存异
例1(1)设a=0.60.3,b=0.30.3,c=0.30.6,则a,b,c的大小关系为()
A.b0.30.6,即b>c,
又幂函数y=x0.3在[0,+∞)上为增函数,
所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c.
(2)(2024·滁州三模)若a=log37,b=log940,c=4.05,则()
A.cb;
而a2,
b=40.6=21.2>21.1=a>2,
c=log38b>cB.c>b>a
C.b>c>aD.b>a>c
答案D
解析因为b=log96=log32(6)2=log36,
且c=12=log33,
又3a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
①设b>a>0,m>0,则有abb>0,m>0,则有ab>a+mb+m.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
①设b>a>0,m>0,则有abb>0,m>0,则有ab>a+mb+m.
2.对数型糖水不等式
(1)设n∈N+,且n>1,则有logn+1nb>1,m>0,则有logabb>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m).
典例已知a=3log83,b=-12log1316,c=log45,则a,b,c的大小关系为()
A.a>b>cB.c>a>b
C.a>c>bD.c>b>a
答案A
解析法一a=3log83=log827=log2333=log23,
b=-12log1316=12log316=log34.
对任意x>y>0,m>0,
xy-x+my+m=x(y+m)-y(x+m)y(y+m)
=(x-y)my(y+m)>0,即xy>x+my+m.
所以a=log23=lg3lg2>lg3+lg32lg2+lg32=lg92lg3
=log392>log34,
即a>b,b=log34=lg4lg3>lg4+lg43lg3+lg43=lg163lg4=log4163>log45,
即b>c,所以a>b>c.
法二a=3log83=log827=log2333=log23,
b=-12log1316=12log316=log34,c=log45,
利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c.
题型二利用特殊值作中间变量
例2(1)设a=20.7,b=130.7,c=log213,则a,b,c的大小关系为()
A.a20=1,
b=130.7=3-0.70,所以0log33=12,
又23log24=2,
b=log52b>cB.c>b>a
C.a>c>bD.b>c>a
答案C
解析因为a=log32=ln2ln3>ln3ln3=1,
b=log222=log22-12=-12,
0c>b.
题型三构造函数比较大小
例3(2025·青岛模拟)已知正数a,b,c满足aea=blnb=eclnc=1,则a,b,c的大小关系为()
A.c0,
显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
而f12=e12-20,f(a)=0,则120,
而g32=ln32-23ln32-13
=13ln278-13>13lne-13=0,
h(c)=0,则1bB.a=b
C.ab>cB.b>a>c
C.c>b>aD.c>a>b
答案D
解析因为a=log42=log22log24=12,
b=12eπ0=1,所以c>a>b.
2.(2025·兰州质检)若a=2313,b=log1225,c=3-14,则a,b,c的大小关系为()
A.a>b>cB.b>c>a
C.b>a>cD.alog1212=1,
a=2313=234112
=1681112>381112=1314=c,
而a=2313a>c.
3.设a=4323,b=4334,c=3234,则a,b,c的大小关系是()
A.a>c>bB.a>b>c
C.c>b>aD.b>c>a
答案C
解析因为函数y=43x为增函数,
所以4323b>a.
4.(2024·临沂二模)若实数a,b,c满足a=2sinπ12,b3=7,3c=10,则()
A.alog39=2,
所以c>b>a.
5.(2025·西安调研)设a=log49,b=log25,c=31-log34,则a,b,c的大小关系为()
A.b>a>cB.b>c>a
C.a>b>cD.c>b>a
答案A
解析因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
故b=log25>log23=log49=a>log22=1,
又c=31-log34=3log33-log34=3log334=34a>1>c.
6.已知实数a>0,且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1),若ax-ay0B.x+y>1
C.x-y>0D.x-y>1
答案C
解析因为a>0,又函数y=log3x单调递增,
所以3a+2>4a+1,即0y,即x-y>0.
7.已知a>0,b>0,若ln12+lnab=12a-1b,则()
A.2a-b>0B.2a-bbD.a2lna-12a,
ln(2b)-1b>lnb-1b,
所以ln(2a)-12a>lnb-1b,
设f(x)=lnx-1x,其中x>0,
因为函数y=lnx,y=-1x在(0,+∞)上均为增函数,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则2a>b,即2a-b>0,A正确,B错误,其它选项无法判断.
8.若2a+log2a0
C.ln|a-2b|>0D.ln|a-2b|0,
因为函数y=2x,y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,
因为2a+log2aa>0,则2b-a>0,
所以2b-a+1>1,则ln(2b-a+1)>ln1=0,A错误,B正确;
无法确定|a-2b|与1的大小,故ln|a-2b|与0的大小无法确定,C,D错误.
二、多选题
9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0logca
C.cbaclogba
答案BC
解析对于A,∵0c>1,∴ba>ca,故A错误;
对于B,∵0c>1,∴logab1logab>1logac,
即0>logba>logca,故B正确;
对于C,∵0c>1,∴ba-1logba>logca,
∴0c>1,∴c(-logba)lnyD.2-x>12y
答案ABD
解析对于A,因为3x+5-y12y,故D正确.
11.已知3a=5b=15,则下列结论正确的是()
A.lga>lgbB.a+b=ab
C.12a>12bD.a+b>4
答案ABD
解析由题意得a=log315>log31>0,
b=log515>log51=0,
0b>0,
对于A,根据对数函数y=lgx在(0,+∞)上单调递增,则lga>lgb,故A正确;
对于B,因为1a+1b=log153+log155=1,
即a+bab=1,则a+b=ab,故B正确;
对于C,因为a>b>0,根据指数函数y=12x在R上单调递减,
则12ab>0,1a+1b=1,
a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,
当且仅当a=b时等号成立,而显然a≠b,
则a+b>4,故D正确.
三、填空题
12.(2025·北京通州...
题型分析指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.
题型一求同存异
例1(1)设a=0.60.3,b=0.30.3,c=0.30.6,则a,b,c的大小关系为()
A.b0.30.6,即b>c,
又幂函数y=x0.3在[0,+∞)上为增函数,
所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c.
(2)(2024·滁州三模)若a=log37,b=log940,c=4.05,则()
A.cb;
而a2,
b=40.6=21.2>21.1=a>2,
c=log38b>cB.c>b>a
C.b>c>aD.b>a>c
答案D
解析因为b=log96=log32(6)2=log36,
且c=12=log33,
又3a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
①设b>a>0,m>0,则有abb>0,m>0,则有ab>a+mb+m.
本题得到的不等式称为糖水不等式:
①设b>a>0,m>0,则有abb>0,m>0,则有ab>a+mb+m.
2.对数型糖水不等式
(1)设n∈N+,且n>1,则有logn+1nb>1,m>0,则有logabb>1,m>0,则有logba>logb+m(a+m).
典例已知a=3log83,b=-12log1316,c=log45,则a,b,c的大小关系为()
A.a>b>cB.c>a>b
C.a>c>bD.c>b>a
答案A
解析法一a=3log83=log827=log2333=log23,
b=-12log1316=12log316=log34.
对任意x>y>0,m>0,
xy-x+my+m=x(y+m)-y(x+m)y(y+m)
=(x-y)my(y+m)>0,即xy>x+my+m.
所以a=log23=lg3lg2>lg3+lg32lg2+lg32=lg92lg3
=log392>log34,
即a>b,b=log34=lg4lg3>lg4+lg43lg3+lg43=lg163lg4=log4163>log45,
即b>c,所以a>b>c.
法二a=3log83=log827=log2333=log23,
b=-12log1316=12log316=log34,c=log45,
利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c.
题型二利用特殊值作中间变量
例2(1)设a=20.7,b=130.7,c=log213,则a,b,c的大小关系为()
A.a20=1,
b=130.7=3-0.70,所以0log33=12,
又23log24=2,
b=log52b>cB.c>b>a
C.a>c>bD.b>c>a
答案C
解析因为a=log32=ln2ln3>ln3ln3=1,
b=log222=log22-12=-12,
0c>b.
题型三构造函数比较大小
例3(2025·青岛模拟)已知正数a,b,c满足aea=blnb=eclnc=1,则a,b,c的大小关系为()
A.c0,
显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
而f12=e12-20,f(a)=0,则120,
而g32=ln32-23ln32-13
=13ln278-13>13lne-13=0,
h(c)=0,则1bB.a=b
C.ab>cB.b>a>c
C.c>b>aD.c>a>b
答案D
解析因为a=log42=log22log24=12,
b=12eπ0=1,所以c>a>b.
2.(2025·兰州质检)若a=2313,b=log1225,c=3-14,则a,b,c的大小关系为()
A.a>b>cB.b>c>a
C.b>a>cD.alog1212=1,
a=2313=234112
=1681112>381112=1314=c,
而a=2313a>c.
3.设a=4323,b=4334,c=3234,则a,b,c的大小关系是()
A.a>c>bB.a>b>c
C.c>b>aD.b>c>a
答案C
解析因为函数y=43x为增函数,
所以4323b>a.
4.(2024·临沂二模)若实数a,b,c满足a=2sinπ12,b3=7,3c=10,则()
A.alog39=2,
所以c>b>a.
5.(2025·西安调研)设a=log49,b=log25,c=31-log34,则a,b,c的大小关系为()
A.b>a>cB.b>c>a
C.a>b>cD.c>b>a
答案A
解析因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
故b=log25>log23=log49=a>log22=1,
又c=31-log34=3log33-log34=3log334=34a>1>c.
6.已知实数a>0,且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1),若ax-ay0B.x+y>1
C.x-y>0D.x-y>1
答案C
解析因为a>0,又函数y=log3x单调递增,
所以3a+2>4a+1,即0y,即x-y>0.
7.已知a>0,b>0,若ln12+lnab=12a-1b,则()
A.2a-b>0B.2a-bbD.a2lna-12a,
ln(2b)-1b>lnb-1b,
所以ln(2a)-12a>lnb-1b,
设f(x)=lnx-1x,其中x>0,
因为函数y=lnx,y=-1x在(0,+∞)上均为增函数,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则2a>b,即2a-b>0,A正确,B错误,其它选项无法判断.
8.若2a+log2a0
C.ln|a-2b|>0D.ln|a-2b|0,
因为函数y=2x,y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,
因为2a+log2aa>0,则2b-a>0,
所以2b-a+1>1,则ln(2b-a+1)>ln1=0,A错误,B正确;
无法确定|a-2b|与1的大小,故ln|a-2b|与0的大小无法确定,C,D错误.
二、多选题
9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0logca
C.cbaclogba
答案BC
解析对于A,∵0c>1,∴ba>ca,故A错误;
对于B,∵0c>1,∴logab1logab>1logac,
即0>logba>logca,故B正确;
对于C,∵0c>1,∴ba-1logba>logca,
∴0c>1,∴c(-logba)lnyD.2-x>12y
答案ABD
解析对于A,因为3x+5-y12y,故D正确.
11.已知3a=5b=15,则下列结论正确的是()
A.lga>lgbB.a+b=ab
C.12a>12bD.a+b>4
答案ABD
解析由题意得a=log315>log31>0,
b=log515>log51=0,
0b>0,
对于A,根据对数函数y=lgx在(0,+∞)上单调递增,则lga>lgb,故A正确;
对于B,因为1a+1b=log153+log155=1,
即a+bab=1,则a+b=ab,故B正确;
对于C,因为a>b>0,根据指数函数y=12x在R上单调递减,
则12ab>0,1a+1b=1,
a+b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,
当且仅当a=b时等号成立,而显然a≠b,
则a+b>4,故D正确.
三、填空题
12.(2025·北京通州...
