第8节 正弦定理和余弦定理（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第8节 正弦定理和余弦定理
课标要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC
asinA=bsinB=csinC=2R
常见
变形
cosA=b2+c2-a22bc;
cosB=c2+a2-b22ac;
cosC=a2+b2-c22ab
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;
(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(4)asinB=bsinA,
bsinC=csinB,asinC=csinA
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinAb
a≤b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.
(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC;
(2)cos(A+B)=-cosC;
(3)sinA+B2=cosC2;
(4)cosA+B2=sinC2.
2.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B?a>b?sinA>sinB?cosAsinB,则A>B.()
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a20时,△ABC不一定为锐角三角形,仅确定A为锐角.
2.(人教A必修二P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则边c=.
答案2+63
解析B=180°-45°-75°=60°,
由正弦定理,得2sin60°=csin75°,得c=2+63.
3.(苏教必修二P93练习T1(3)改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于.
答案2π3
解析在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,
由余弦定理的推论得
cos∠BAC=AC2+AB2-BC22AC·AB=9+25-4930=-12,
因为∠BAC为△ABC的内角,
所以∠BAC=2π3.
4.(人教B必修四P5例3改编)已知△ABC中,b=36,c=6,B=120°,则△ABC的面积为.
答案27-932
解析由正弦定理,得sinC=csinBb=6×3236=22.
由于b>c,故B>C,所以C=45°,
所以A=180°-120°-45°=15°,
sin15°=sin(60°-45°)
=32×22-12×22=6-24,
所以△ABC的面积为
S=12bcsinA=12×36×6×6-24=27-932.
考点一正、余弦定理的直接应用
例1(1)(2025·榆林模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinA+(b+λa)sinB=
csinC,则λ的取值范围为()
A.(-2,2)B.(0,2)
C.[-2,2]D.[0,2]
答案A
解析因为asinA+(b+λa)sinB=csinC,
由正弦定理得c2=a2+b2+λab,
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC,
所以λ=-2cosC,
因为C∈(0,π),所以cosC∈(-1,1),
故λ∈(-2,2).
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=π3,b2=94ac,则sinA+
sinC=()
A.23913B.3913
C.72D.31313
答案C
解析由正弦定理得94sinAsinC=sin2B,
因为B=π3,所以sinAsinC=49sin2B=13.
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac=94ac,所以a2+c2=134ac,
所以sin2A+sin2C=134sinAsinC,
所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=214sinAsinC=74,
又sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC=72.
思维建模1.在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
2.三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不确定性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
训练1(1)(2024·南京调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=6,B=π3,则A=()
A.π4B.π3
C.π4或3π4D.π3或2π3
答案A
解析根据正弦定理asinA=bsinB得2sinA=632,故sinA=22.
因为0b+cc,则
△ABC的形状为()
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.直角或钝角三角形
D.锐角三角形
答案B
解析由2sin2B+C2>b+cc得1-cos(B+C)>sinB+sinCsinC,
即1+cosA>sinB+sinCsinC,
因为C∈(0,π),所以sinC>0,
则sinC+cosAsinC>sinB+sinC,
即cosAsinC>sinB,
即cosAsinC>sin(A+C),
即cosAsinC>sinAcosC+cosAsinC,
即sinAcosC0,
所以cosCcosB
D.若cos2A+cos2B-cos2CA+B>90°,
即90°>A>90°-B>0°,
∴sinA>sin(90°-B)=cosB,故C正确;
对于D,由题意及二倍角的余弦公式知1-2sin2A+1-2sin2B-1+2sin2C0,即a2+b2-c2>0,∴cosC>0,
即C为锐角,但不能说明△ABC为锐角三角形,故D错误.
思维建模判断三角形形状的技巧总结:
(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边或等腰三角形;
(2)通过三角恒等变换,得出内角之间的关系,从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形.
求解三角形形状问题时,既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑,以免漏解.
训练2在△ABC中,已知sinA+sinCsinB=b+ca且满足条件①a(sinA-sinB)=(c-b)·(sinC+sinB);
②bcosA+acosB=csinC中的一个,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.
注:如果选择多个条件分...
课标要求掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC
asinA=bsinB=csinC=2R
常见
变形
cosA=b2+c2-a22bc;
cosB=c2+a2-b22ac;
cosC=a2+b2-c22ab
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;
(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
(4)asinB=bsinA,
bsinC=csinB,asinC=csinA
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinAb
a≤b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.
(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC;
(2)cos(A+B)=-cosC;
(3)sinA+B2=cosC2;
(4)cosA+B2=sinC2.
2.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B?a>b?sinA>sinB?cosAsinB,则A>B.()
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a20时,△ABC不一定为锐角三角形,仅确定A为锐角.
2.(人教A必修二P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则边c=.
答案2+63
解析B=180°-45°-75°=60°,
由正弦定理,得2sin60°=csin75°,得c=2+63.
3.(苏教必修二P93练习T1(3)改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于.
答案2π3
解析在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,
由余弦定理的推论得
cos∠BAC=AC2+AB2-BC22AC·AB=9+25-4930=-12,
因为∠BAC为△ABC的内角,
所以∠BAC=2π3.
4.(人教B必修四P5例3改编)已知△ABC中,b=36,c=6,B=120°,则△ABC的面积为.
答案27-932
解析由正弦定理,得sinC=csinBb=6×3236=22.
由于b>c,故B>C,所以C=45°,
所以A=180°-120°-45°=15°,
sin15°=sin(60°-45°)
=32×22-12×22=6-24,
所以△ABC的面积为
S=12bcsinA=12×36×6×6-24=27-932.
考点一正、余弦定理的直接应用
例1(1)(2025·榆林模拟)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asinA+(b+λa)sinB=
csinC,则λ的取值范围为()
A.(-2,2)B.(0,2)
C.[-2,2]D.[0,2]
答案A
解析因为asinA+(b+λa)sinB=csinC,
由正弦定理得c2=a2+b2+λab,
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC,
所以λ=-2cosC,
因为C∈(0,π),所以cosC∈(-1,1),
故λ∈(-2,2).
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=π3,b2=94ac,则sinA+
sinC=()
A.23913B.3913
C.72D.31313
答案C
解析由正弦定理得94sinAsinC=sin2B,
因为B=π3,所以sinAsinC=49sin2B=13.
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac=94ac,所以a2+c2=134ac,
所以sin2A+sin2C=134sinAsinC,
所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=214sinAsinC=74,
又sinA>0,sinC>0,所以sinA+sinC=72.
思维建模1.在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
2.三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不确定性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
训练1(1)(2024·南京调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,b=6,B=π3,则A=()
A.π4B.π3
C.π4或3π4D.π3或2π3
答案A
解析根据正弦定理asinA=bsinB得2sinA=632,故sinA=22.
因为0b+cc,则
△ABC的形状为()
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.直角或钝角三角形
D.锐角三角形
答案B
解析由2sin2B+C2>b+cc得1-cos(B+C)>sinB+sinCsinC,
即1+cosA>sinB+sinCsinC,
因为C∈(0,π),所以sinC>0,
则sinC+cosAsinC>sinB+sinC,
即cosAsinC>sinB,
即cosAsinC>sin(A+C),
即cosAsinC>sinAcosC+cosAsinC,
即sinAcosC0,
所以cosCcosB
D.若cos2A+cos2B-cos2CA+B>90°,
即90°>A>90°-B>0°,
∴sinA>sin(90°-B)=cosB,故C正确;
对于D,由题意及二倍角的余弦公式知1-2sin2A+1-2sin2B-1+2sin2C0,即a2+b2-c2>0,∴cosC>0,
即C为锐角,但不能说明△ABC为锐角三角形,故D错误.
思维建模判断三角形形状的技巧总结:
(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边或等腰三角形;
(2)通过三角恒等变换,得出内角之间的关系,从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形.
求解三角形形状问题时,既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑,以免漏解.
训练2在△ABC中,已知sinA+sinCsinB=b+ca且满足条件①a(sinA-sinB)=(c-b)·(sinC+sinB);
②bcosA+acosB=csinC中的一个,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.
注:如果选择多个条件分...
