第9节 直线与圆锥曲线

课标要求1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.

3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.



【知识梳理】

1.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点.

(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).

①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有Δ>0时,直线l与曲线C相交;Δ=0时,直线l与曲线C相切;Δ0,即-3232时,

方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.

这时直线l与椭圆C没有公共点.

思维建模1.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.

2.双曲线中与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点;抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点.

训练1(1)(2025·南京调研)已知抛物线C:y2=4x,经过点P的任意一条直线与C均有公共点,则点P的坐标可以为()

A.(0,1)B.(1,-3)

C.(3,4)D.(2,-2)

答案D

解析点(0,1)在y轴上,

所以点(0,1)在抛物线外部,

将x=1代入抛物线C:y2=4x中,

则|y|=22,

所以点(2,-2)在抛物线内部,

将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来,只有点(2,-2)在抛物线内部,

故当点P的坐标为(2,-2)时,

经过点P的任意一条直线与C均相交,均有公共点.

(2)(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线x24-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为.

答案12或-12,答案不唯一

解析由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±12x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).

因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±12.

考点二弦的有关问题

角度1焦点弦

例2(2025·开封质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,且AF1·AF2=0.

(1)求C的离心率;

(2)射线AF1与C交于点B,且|AB|=83,求△ABF2的周长.

解(1)因为AF1·AF2=0,所以AF1⊥AF2,

即AF1⊥AF2,所以△AF1F2是等腰直角三角形,

所以|F1F2|=2|AF1|,即2c=2a,

所以e=ca=22.

(2)设直线AF1的方程为y=x+b,①

由e=ca=22,得a2=2c2=2b2,

所以椭圆C的方程为x22b2+y2b2=1(b>0),②

联立①②,化简得3x2+4bx=0,

解得x=0或x=-4b3,

所以|AB|=2×4b3=83,所以b=2,a=2,

所以△ABF2的周长为4a=8.

角度2中点弦

例3(1)(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)

C.(1,3)D.(-1,-4)

答案D

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,

得x12-y129=1,x22-y229=1,两式作差,得x12-x22=y12-y229,

即(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)9,

化简得(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=9,

即y1-y2x1-x2·y1+y22x1+x22=kAB·y0x0=9,

因此kAB=9·x0y0.

由双曲线方程可得渐近方程为y=±3x,如图.



对于A,因为kAB=9×11=9>3,

所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;

对于B,因为kAB=9×-12=-920)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为.

答案(1,-1)

解析∵焦点到准线的距离为p,则p=1,

∴y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).

则y12=2x1,y22=2x2,

则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),

∴kPQ=2y1+y2,

又∵P,Q关于直线l对称,

∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,

∴PQ中点的纵坐标为y1+y22=-1,

又∵PQ的中点在直线l上,

∴PQ中点的横坐标为x1+x22=(-1)+2=1.

∴线段PQ的中点坐标为(1,-1).

考点三直线与圆锥曲线的综合

例5(2025·昆明质检)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(5,23)在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程;

(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,若△OAB的面积为22,求直线l的方程.

解(1)依题意,c=2,所以a2+b2=4,

则双曲线C的方程为x2a2-y24-a2=1(00,

解得k≠±1,-30,

则x1+x2=-12(t-1)9,

从而-12(t-1)9=52,得t=-78(满足Δ>0),

所以l的方程为y=32x-78.

(2)由AP=3PB,可得y1=-3y2.

由y=32x+t,y2=3x,可得y2-2y+2t=0,

其中Δ=4-8t>0,

所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,

故y2=-1,y1=3.

代入C的方程得x1=3,x2=13.

所以A(3,3),B13,-1,

故|AB|=4133.



一、单选题

1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

答案A

解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,

故直线与椭圆相交.

2.过点(0,1)作与双曲线x23-y26=1仅有一个公共点的直线,这样的直线有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

答案D

解析结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有4条,过点(0,1)且平行于渐近线的两条直线以及过点(0,1)且与双曲线相切的两条直线.

3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=()

A.23B.23

C....