第9节 函数的图象

课标要求1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.



【知识梳理】

1.利用描点法作函数的图象

步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换



(2)对称变换

y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;

y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;

y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;

y=ax(a>0,且a≠1)的图象y=logax(a>0,且a≠1)的图象.

(3)伸缩变换

y=f(x)y=f(ax).

y=f(x)y=Af(x).

(4)翻折变换

y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;

y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.

[常用结论与微点提醒]

1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.

2.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()

(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.()

(3)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()

(4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同,(1)错误.

(2)y=f(1-x)=f[-(x-1)],所以可由y=f(-x)向右平移1个单位长度得到,(2)错误.

(3)中两函数当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同,(3)错误.

(4)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,(4)错误.



2.函数y=1x4-1的图象大致为()





答案C

解析法一当00,

函数y=1x4-1在(-∞,-1)和(-1,0)上均单调递增;

当01时,y'0部分关于y轴的对称部分,

即得y=12x的图象,如图①实线部分.





(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.

(3)∵y=x2-2x-1,x≥0,x2+2x-1,x-1+e-1esinπ6=-1+e2-12e>0,排除D.

(2)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为()



A.f(x)=-2x2x-1B.f(x)=-2x2x+1

C.f(x)=-2xx-1D.f(x)=-2xx2-1

答案A

解析由题图可知,函数f(x)为偶函数,

且定义域不是全体实数,故排除B,C.

D中,当x>1时,f(x)=-2xx2-1,f'(x)=2x2+2(x2-1)2>0,

则f(x)在(1,+∞)上单调递增,故排除D.

思维建模1.抓住函数的性质,定性分析:

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征,定量计算:寻找函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

训练2(1)(2025·济南模拟)函数f(x)=(ex-1)sinxex+1,则y=f(x)的部分图象大致形状是()



答案A

解析易知函数的定义域为R,

因为y=ex-1ex+1是奇函数,y=sinx是奇函数,

所以f(x)是偶函数,排除B,D,

当x∈(0,π)时,y=ex-1ex+1>0,y=sinx>0,

所以f(x)>0,排除C.

(2)(2025·天津十二区重点学校模拟)y=f(x)的大致图象如图,则f(x)的解析式可能为()



A.f(x)=|x2-sinx|

B.f(x)=|x-sinx|

C.f(x)=|2x-1|

D.f(x)=x2-x-14

答案A

解析因为f(0)=0,所以排除D;

C中,因为当x>0时,f(x)=2x-1为(0,+∞)上的增函数,与所给图象不符,所以排除C;

B中,因为f(-x)=|-x-sin(-x)|=|-x+sinx|=|x-sinx|对x∈R都成立,

所以f(x)为偶函数,与所给图象不符,所以排除B.

考点三函数图象的应用

角度1图象法解方程或不等式

例3已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()



A.(-2,0)∪(2,2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-∞,-2)∪(-2,0)∪(2,2)

D.(-2,-2)∪(0,2)∪(2,+∞)

答案C

解析根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示,



由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0,

则x2-2>0,f(x)>0或x2-22f(x),f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为.

答案(-∞,-3)∪(-3,0)

解析依题意知,f(0)=0,

当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(-x)>2f(x),

即-f(x)>2f(x),得f(x)0的解集为

(-∞,-3)∪(-3,0).

(2)设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意x∈D,都有f(x+m)>f(x),则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是.

答案(-∞,5)

解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,

且当x>0时,f(x)=|x-a|-a,

∴f(x)=x-a-a(x>0),0(x=0),-x+a+a(xf(x)在R上恒成立.

①当a≤0时,由f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象,



显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,满足f(x+20)>f(x).

②当a>0时,由f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到f(x+20)的图象,要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,需满足2a-200的解集是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)D.?

答案B

解析不等式f(x)>0?log2(x+1)>|x|,