第9节 爪形三角形中特殊线的计算（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第9节 爪形三角形中特殊线的计算
题型分析“爪形”三角形是指在给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形,一般涉及三角形的高线、中线、角平分线的计算.通常可以采用“邻补角策略”、“算两次”策略等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.
题型一三角形的高线
例1(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.
(1)求sinA;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
解法一(1)在△ABC中,A+B=π-C,
因为A+B=3C,
所以3C=π-C,所以C=π4.
因为2sin(A-C)=sinB,
所以2sinA-π4=sin3π4-A,
展开并整理得2(sinA-cosA)=22(cosA+sinA),
得sinA=3cosA,
又sin2A+cos2A=1,且sinA>0,
所以sinA=31010.
(2)由正弦定理,得
BC=ABsinC·sinA=522×31010=35.
由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,
即52=AC2+(35)2-2AC·35cosπ4,
整理得AC2-310AC+20=0,
解得AC=10或AC=210.
由(1)得,tanA=3>3,所以π3π4,即C0,tanA=sinAcosA,sin2A+cos2A=1,
所以sinA=31010.
(2)由(1)知tanA=3>0,所以A为锐角,
又sinA=31010,所以cosA=1010,
所以sinB=sin(A+C)
=22×1010+22×31010=255.
由正弦定理,得
AC=AB·sinBsinC=5×25522=210,
故AB边上的高为AC·sinA=210×31010=6.
思维建模1.设h1,h2,h3为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=1a∶1b∶1c=1sinA∶1sinB∶1sinC.
2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边的长度.
高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.
训练1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=a-csinBb.
(1)求角B的大小;
(2)若边AB上的高为c4,求cosC的值.
解(1)由余弦定理的推论得a2+b2-c22ab=a-csinBb,
所以a2+b2-c2=2a(a-csinB),
所以b2=a2+c2-2acsinB.
又因为b2=a2+c2-2accosB,
所以sinB=cosB,
则tanB=1.
因为B∈(0,π),所以B=π4.
(2)因为△ABC的面积S=12acsinB
=24ac=c28,则a=24c,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
=24c2+c2-2×24c×c×22=58c2,
所以b=104c,
所以cosC=a-csinBb=24c-22c104c=-55.
题型二三角形的中线
例2记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinC=sinC+3cosC,A=π3.
(1)求c.
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断△ABC是否存在?若存在,求出△ABC的面积;若不存在,说明理由.
①BC边上的中线长为22,②AB边上的中线长为7.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解(1)由bsinC=sinC+3cosC及正弦定理,得csinB=2sinC+π3,
因为A=π3,A+B+C=π,
所以csinB=2sin(π-B)=2sinB,
又sinB≠0,所以c=2.
(2)选①,
法一设BC边上的中线为AD,
则AD=22,BD=CD=12a.
由cos∠ADB=-cos∠ADC及余弦定理的推论得,AD2+BD2-AB22AD·BD=-AD2+CD2-AC22AD·CD,
即12+a24-4=-12+a24-b2,
化简,得a2=2b2+6,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC,
即a2=b2-2b+4,
所以b2+2b+2=0,该方程无实数解,
故符合条件的△ABC不存在.
法二设BC边上的中线为AD,
则AD=12(AB+AC),
两边平方得AD2=14(AB2+2AB·AC+AC2),
即12=14×(4+2×2b×12+b2),
即b2+2b+2=0,易知该方程无实数解,
故符合条件的△ABC不存在.
选②,
设AB边上的中线为CF,则CF=7,AF=BF=12AB=1.
在△ACF中,由余弦定理CF2=AF2+AC2-2AC·AFcosA,
得7=1+b2-2b·cosπ3,整理得b2-b-6=0,
解得b=3或b=-2(舍去).
故△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×2×32=332.
思维建模如图,在△ABC中,AD为BC的中线.
(1)余弦定理法
在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2BD·ADcos∠ADB,①
在△ACD中,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC,②
①+②得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).
(2)向量法
由于AD=12(AB+AC),所以AD2=14(b2+c2+2bccos∠BAC)
(3)倍长中线法
借助平行四边形性质:平行四边形对角线的平方和等于四边形的平方和.
易得2(AC2+AB2)=BC2+(2AD)2
(4)中线公式
在△ABC中,BC边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导)AD=2(b2+c2)-a22
当然除了上述常用的方法以外,还有坐标法等技巧.
训练2(2025·福建九地市质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asinC=
csinB,C=2π3.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面积为334,求BC边上中线的长.
解(1)∵asinC=csinB,
∴由正弦定理,得sinAsinC=sinCsinB,
∵00,∴sinA=sinB,
∵00,
所以cosA=32,
因为0b,可得B为锐角,
则cosB=1-sin2B=277,
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=32×277+12×217=32114,
由csinC=bsinB可得c32114=c-1217,
解得c=3.
(2)由(1)可得b=c-1=2,
因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD=30°,
设AD=x,由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得
12×3×2×32=12×2x×12+12×3x×12,
化为52x=33,解得x=635,则AD=635.
3.(2025·杭州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinB+cosB)=c.
(1)求A;
(2)若c=2,a=5,D为BC的中点,求AD.
解(1)在△ABC中,由题意及正弦定理得,
sinA(sinB+cosB)=sinC,
由A+B+C=π,得sinC=sin(A+B),
所以sinAsinB+sinAcosB
=sinAcosB+sinBcosA,
化简得sinAsinB=sinBcosA,
因为sinB≠0,所以tanA=1,
因为A∈(0,π),所以A=π4.
(2)在△ABC...
题型分析“爪形”三角形是指在给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形,一般涉及三角形的高线、中线、角平分线的计算.通常可以采用“邻补角策略”、“算两次”策略等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.
题型一三角形的高线
例1(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.
(1)求sinA;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
解法一(1)在△ABC中,A+B=π-C,
因为A+B=3C,
所以3C=π-C,所以C=π4.
因为2sin(A-C)=sinB,
所以2sinA-π4=sin3π4-A,
展开并整理得2(sinA-cosA)=22(cosA+sinA),
得sinA=3cosA,
又sin2A+cos2A=1,且sinA>0,
所以sinA=31010.
(2)由正弦定理,得
BC=ABsinC·sinA=522×31010=35.
由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC,
即52=AC2+(35)2-2AC·35cosπ4,
整理得AC2-310AC+20=0,
解得AC=10或AC=210.
由(1)得,tanA=3>3,所以π3π4,即C0,tanA=sinAcosA,sin2A+cos2A=1,
所以sinA=31010.
(2)由(1)知tanA=3>0,所以A为锐角,
又sinA=31010,所以cosA=1010,
所以sinB=sin(A+C)
=22×1010+22×31010=255.
由正弦定理,得
AC=AB·sinBsinC=5×25522=210,
故AB边上的高为AC·sinA=210×31010=6.
思维建模1.设h1,h2,h3为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=1a∶1b∶1c=1sinA∶1sinB∶1sinC.
2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边的长度.
高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.
训练1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosC=a-csinBb.
(1)求角B的大小;
(2)若边AB上的高为c4,求cosC的值.
解(1)由余弦定理的推论得a2+b2-c22ab=a-csinBb,
所以a2+b2-c2=2a(a-csinB),
所以b2=a2+c2-2acsinB.
又因为b2=a2+c2-2accosB,
所以sinB=cosB,
则tanB=1.
因为B∈(0,π),所以B=π4.
(2)因为△ABC的面积S=12acsinB
=24ac=c28,则a=24c,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
=24c2+c2-2×24c×c×22=58c2,
所以b=104c,
所以cosC=a-csinBb=24c-22c104c=-55.
题型二三角形的中线
例2记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinC=sinC+3cosC,A=π3.
(1)求c.
(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件,判断△ABC是否存在?若存在,求出△ABC的面积;若不存在,说明理由.
①BC边上的中线长为22,②AB边上的中线长为7.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解(1)由bsinC=sinC+3cosC及正弦定理,得csinB=2sinC+π3,
因为A=π3,A+B+C=π,
所以csinB=2sin(π-B)=2sinB,
又sinB≠0,所以c=2.
(2)选①,
法一设BC边上的中线为AD,
则AD=22,BD=CD=12a.
由cos∠ADB=-cos∠ADC及余弦定理的推论得,AD2+BD2-AB22AD·BD=-AD2+CD2-AC22AD·CD,
即12+a24-4=-12+a24-b2,
化简,得a2=2b2+6,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC,
即a2=b2-2b+4,
所以b2+2b+2=0,该方程无实数解,
故符合条件的△ABC不存在.
法二设BC边上的中线为AD,
则AD=12(AB+AC),
两边平方得AD2=14(AB2+2AB·AC+AC2),
即12=14×(4+2×2b×12+b2),
即b2+2b+2=0,易知该方程无实数解,
故符合条件的△ABC不存在.
选②,
设AB边上的中线为CF,则CF=7,AF=BF=12AB=1.
在△ACF中,由余弦定理CF2=AF2+AC2-2AC·AFcosA,
得7=1+b2-2b·cosπ3,整理得b2-b-6=0,
解得b=3或b=-2(舍去).
故△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×2×32=332.
思维建模如图,在△ABC中,AD为BC的中线.
(1)余弦定理法
在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2BD·ADcos∠ADB,①
在△ACD中,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC,②
①+②得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).
(2)向量法
由于AD=12(AB+AC),所以AD2=14(b2+c2+2bccos∠BAC)
(3)倍长中线法
借助平行四边形性质:平行四边形对角线的平方和等于四边形的平方和.
易得2(AC2+AB2)=BC2+(2AD)2
(4)中线公式
在△ABC中,BC边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导)AD=2(b2+c2)-a22
当然除了上述常用的方法以外,还有坐标法等技巧.
训练2(2025·福建九地市质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asinC=
csinB,C=2π3.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面积为334,求BC边上中线的长.
解(1)∵asinC=csinB,
∴由正弦定理,得sinAsinC=sinCsinB,
∵00,∴sinA=sinB,
∵00,
所以cosA=32,
因为0b,可得B为锐角,
则cosB=1-sin2B=277,
所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=32×277+12×217=32114,
由csinC=bsinB可得c32114=c-1217,
解得c=3.
(2)由(1)可得b=c-1=2,
因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD=30°,
设AD=x,由S△ABC=S△ACD+S△ABD,可得
12×3×2×32=12×2x×12+12×3x×12,
化为52x=33,解得x=635,则AD=635.
3.(2025·杭州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinB+cosB)=c.
(1)求A;
(2)若c=2,a=5,D为BC的中点,求AD.
解(1)在△ABC中,由题意及正弦定理得,
sinA(sinB+cosB)=sinC,
由A+B+C=π,得sinC=sin(A+B),
所以sinAsinB+sinAcosB
=sinAcosB+sinBcosA,
化简得sinAsinB=sinBcosA,
因为sinB≠0,所以tanA=1,
因为A∈(0,π),所以A=π4.
(2)在△ABC...
