第一课时 二次函数及其性质（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档教师版） 人教版
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第5节 一元二次函数、方程和不等式
第一课时 二次函数及其性质
课标要求理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【知识梳理】
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a0,Δ0;当a0),
又图象过原点,
所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
考点一二次函数的解析式
例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=.
答案-4x2+4x+7
解析法一(利用“一般式”)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用“顶点式”)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12,
所以m=12.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=ax-122+8.
因为f(2)=-1,
所以a2-122+8=-1,
解得a=-4,
所以f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.
法三(利用“零点式”)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,
即4a(-2a-1)-(-a)24a=8.
解得a=-4或a=0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
思维建模二次函数解析式的选择规律
训练1已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为.
答案y=12x2+x-32或y=-12x2-x+32
解析因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
展开得,y=ax2+2ax-3a,
顶点的纵坐标为-12a2-4a24a=-4a,
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2,
所以|-4a|=2,即a=±12,
所以二次函数的解析式为y=12x2+x-32或y=-12x2-x+32.
考点二二次函数的图象
例2(1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,且函数f(x)的图象可能是()
答案D
解析由a>b>c且a+b+c=0,
得a>0,c4acB.2a-b=1
C.a-b+c=0D.5a0,即b2>4ac,A正确.
对称轴为x=-1,
即-b2a=-1,2a-b=0,B错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,C错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a0.
又因为f(0)=c>0,所以abc0,
f(3)=f(-1)=9a+3b+c0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
解(1)由题意知a≠0.
当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=12a,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足12a≥2,
又a>0,所以01,即a0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A,D;
对于B,由直线可知a>0,b>0,从而-b2af(a-1)>f(a+1)
B.f(a)>f(a-1)=f(a+1)
C.f(a)f(a-1)>f(a)
答案B
解析函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=a,
故f(a)>f(a-1)=f(a+1).
5.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则()
A.a>0,4a+b=0B.a0,2a+b=0D.af(1),
所以f(x)的图象开口向上,a>0.故选A.
6.已知函数f(x)=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是()
A.(1,3]B.[2,3]
C.(1,2]D.(2,3)
答案B
解析易知f(x)=x2-4x+1的图象是一条开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线,
当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3,
由y=-2,得x=1或x=3,
因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3.故选B.
7.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是()
A.(-∞,0]B.[0,3]
C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.[3,+∞)
答案C
解析二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,
∵对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),
即f(x)在区间[-1,2]上是单调函数,
∴a-1≤-1或a-1≥2,
∴a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为
(-∞,0]∪[3,+∞).
8.(2025·广州调研)设a,b,c∈R且a≠0,函数g(x)=ax2+bx+c,f(x)=(x+2)g(x),若f(x)+f(-x)=0,则下列判断正确的是()
A.g(x)的最大值为-a
B.g(x)的最小值为-a
C.g(2+x)=g(2-x)
D.g(2+x)=g(-x)
答案D
解析因为g(x)=ax2+bx+c,
所以f(x)=(x+2)g(x)
=(x+2)(ax2+bx+c)
=ax3+(b+2a)x2+(c+2b)x+2c.
因为f(x)+f(-x)=0,
所以f(x)是奇函数,
所以b+2a=0,2c=0,即b=-2a,c=0,
所以g(x)=ax2-2ax.
因为a≠0,不清楚a是正还是负,
所以不能确定g(x)有最大值还是最小值,
所以A,B均不正确.
g(x)图象的对称轴为直线x=--2a2a=1.
若g(2+x)=g(2-x),则g(x)的图象关于直线x=2对称;
若g(2+x)=g(-x),则g(x)的图象关于直线x=1对称,
所以C不正确,D正确.
二、多选题
9.设abc0,c>0,此时abc0,b>0,c>0,此时abc>0,不符合题意;
D中,a>0,b0,不符合题意.
10.已知函数f(x)=ax2-2bx-1,则下列结论正确的是()
A.若f(x)是偶函数,则b=0
B.若f(x)0恒成立
D.?a≤0,b0且-1,1为方程f(x)=0的两根,
则-1×1=-1a,-1+1=2ba,解得a=...
第一课时 二次函数及其性质
课标要求理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【知识梳理】
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a0,Δ0;当a0),
又图象过原点,
所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
考点一二次函数的解析式
例1已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=.
答案-4x2+4x+7
解析法一(利用“一般式”)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.
所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用“顶点式”)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12,
所以m=12.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=ax-122+8.
因为f(2)=-1,
所以a2-122+8=-1,
解得a=-4,
所以f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.
法三(利用“零点式”)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,
即4a(-2a-1)-(-a)24a=8.
解得a=-4或a=0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
思维建模二次函数解析式的选择规律
训练1已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为.
答案y=12x2+x-32或y=-12x2-x+32
解析因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
展开得,y=ax2+2ax-3a,
顶点的纵坐标为-12a2-4a24a=-4a,
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2,
所以|-4a|=2,即a=±12,
所以二次函数的解析式为y=12x2+x-32或y=-12x2-x+32.
考点二二次函数的图象
例2(1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,且函数f(x)的图象可能是()
答案D
解析由a>b>c且a+b+c=0,
得a>0,c4acB.2a-b=1
C.a-b+c=0D.5a0,即b2>4ac,A正确.
对称轴为x=-1,
即-b2a=-1,2a-b=0,B错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,
即a-b+c>0,C错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.
根据抛物线开口向下,知a0.
又因为f(0)=c>0,所以abc0,
f(3)=f(-1)=9a+3b+c0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
解(1)由题意知a≠0.
当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=12a,
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足12a≥2,
又a>0,所以01,即a0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A,D;
对于B,由直线可知a>0,b>0,从而-b2af(a-1)>f(a+1)
B.f(a)>f(a-1)=f(a+1)
C.f(a)f(a-1)>f(a)
答案B
解析函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=a,
故f(a)>f(a-1)=f(a+1).
5.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则()
A.a>0,4a+b=0B.a0,2a+b=0D.af(1),
所以f(x)的图象开口向上,a>0.故选A.
6.已知函数f(x)=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是()
A.(1,3]B.[2,3]
C.(1,2]D.(2,3)
答案B
解析易知f(x)=x2-4x+1的图象是一条开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线,
当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3,
由y=-2,得x=1或x=3,
因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3.故选B.
7.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是()
A.(-∞,0]B.[0,3]
C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.[3,+∞)
答案C
解析二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,
∵对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),
即f(x)在区间[-1,2]上是单调函数,
∴a-1≤-1或a-1≥2,
∴a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为
(-∞,0]∪[3,+∞).
8.(2025·广州调研)设a,b,c∈R且a≠0,函数g(x)=ax2+bx+c,f(x)=(x+2)g(x),若f(x)+f(-x)=0,则下列判断正确的是()
A.g(x)的最大值为-a
B.g(x)的最小值为-a
C.g(2+x)=g(2-x)
D.g(2+x)=g(-x)
答案D
解析因为g(x)=ax2+bx+c,
所以f(x)=(x+2)g(x)
=(x+2)(ax2+bx+c)
=ax3+(b+2a)x2+(c+2b)x+2c.
因为f(x)+f(-x)=0,
所以f(x)是奇函数,
所以b+2a=0,2c=0,即b=-2a,c=0,
所以g(x)=ax2-2ax.
因为a≠0,不清楚a是正还是负,
所以不能确定g(x)有最大值还是最小值,
所以A,B均不正确.
g(x)图象的对称轴为直线x=--2a2a=1.
若g(2+x)=g(2-x),则g(x)的图象关于直线x=2对称;
若g(2+x)=g(-x),则g(x)的图象关于直线x=1对称,
所以C不正确,D正确.
二、多选题
9.设abc0,c>0,此时abc0,b>0,c>0,此时abc>0,不符合题意;
D中,a>0,b0,不符合题意.
10.已知函数f(x)=ax2-2bx-1,则下列结论正确的是()
A.若f(x)是偶函数,则b=0
B.若f(x)0恒成立
D.?a≤0,b0且-1,1为方程f(x)=0的两根,
则-1×1=-1a,-1+1=2ba,解得a=...
