第二课时 一元二次方程、不等式

课标要求1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.



【知识梳理】

1.一元二次不等式

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式

Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ0)的图象







一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a>0)的根

有两相异实

根x1,x2

(x10

(a>0)的解集

{x|x>x2,或x0)的解集

{x|x10或(x-a)(x-b)b

(x-a)·(x-b)>0

{x|xb}

{x|x≠a}

{x|xa}

(x-a)·(x-b)0(0(a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|0)的解集为(-a,a).

记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间.

2.解不等式ax2+bx+c>0(0(0对任意实数x恒成立?a=b=0,c>0或a>0,Δ0.()

(3)不等式x2≤a的解集为[-a,a].()

(4)若方程ax2+bx+c=0(a0(a0(a0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=.

答案-3

解析由题意可得-a=-1+2,b=(-1)×2,

即a=-1,b=-2,故a+b=-3.

4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-380的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则()

A.a>0

B.a+b+c>0

C.不等式bx+c>0的解集是{x|x0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),

∴a>0,A正确;

-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,

由根与系数的关系得-2+3=-ba,-2×3=ca,

则b=-a,c=-6a,

∴a+b+c=-6a0可化为-ax-6a>0,得x0,

解得x12,D正确.

故选ACD.

思维建模1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.

2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.

训练1(多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x14

答案ABD

解析由题意得,a4,故D正确;

由x2-x1>4,可得-10的解集为{x|x1}

B.不等式2x+1x-2≤1的解集为{x|-3≤x0的解集为{x|x1},故A正确;

因为2x+1x-2-1≤0,即x+3x-2≤0,

即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0),

解得-3≤x0时,原不等式可化为

x-1a(x-1)1时,解得1a1.

③当a0,

解得x>1或x1时,不等式的解集为x|1a1},

当a1.

思维建模对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.

训练2(1)不等式|x|(1-2x)>0的解集是()

A.-∞,12B.0,12

C.(-∞,0)∪12,+∞D.(-∞,0)∪0,12

答案D

解析原不等式等价于x≠0,1-2x>0,

即x0,即a>2或a2或a4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是()

A.[-1,3]B.(-∞,-1]

C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

答案D

解析不等式x2+px>4x+p-3,

可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,

由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),

令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),

可得f(0)=x2-4x+3>0,f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0,

解得x3.

思维建模恒成立问题求参数的范围的解题策略

(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数.

(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论.

训练3已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1).

(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由;

(2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围;

(3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围.

解(1)原不等式等价于mx2-2x+(1-m)1,所以m1),x2-1=t2+2t-34,

所以m-1+72.

取交集,得-1+724}

C.{x|-2≤x≤4}D.{x|-2≤x≤-1}

答案A

解析因为不等式x2-x-6≤0的解集为{x|-2≤x≤3},

又不等式x-4x+1≤0的解集为{x|-10的解集为()

A.-1,-15

B.(-∞,-1)∪-15,+∞

C.15,1

D.-∞,15∪(1,+∞)

答案C

解析由题意可知a0可化为5x2-6x+10恒成立”是真命题,则实数λ可能的取值是()

A.22B.23

C.4D.5

答案A

解析?x∈12,2,3x2-λx+1>0恒成立,

即λ2时,f(x)>0,则a的取值范围是()

A.(-∞,1]B.[-2,1]

C.[-1,2]D.[-1,+∞)

答案B

解析法一f(x)=x|x-a|-2a2

=x2-ax-2a2,x≥a,-x2+ax-2a2,x0;

当x≥a时,f(x)=(x-2a)(x+a),

若a=0,f(x)=x2符合题意;

若a0,则f(x)在(-a,2a)上为负,(2a,+∞)上为正,所以2a≤2,则a≤1.

综上,a∈[-2,1].

法二当x>2时,f(x)>0等价于x(x-a)-2a2>0或x(a-x)-2a2>0.

将a看成未知量,上述不等式变形为

(a+x)a-x21时,不等式x2-(a+1)x+a0的解集为{x|-20.”的一种解法:

因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-20可化为a(-x)2+b(-x)+c>0,所以

-20的解集为{x|-10的解集是{x|140,即(x-1)(4x-1)>0,解得x1,故A错误;

对于B,2x2-x-6≤0,即(x-2)(2x+3)≤0,解得-32≤x≤2,故B错误;

对于C,若不等式ax2+8ax+210的解集可能是()

A.xx>2a或x-2}

C.x-20,解得x0时,(ax-2)(x+2)=ax-2a·(x+2)>0,解得x>2a或x0,

若2a=-2,则a=-1,则解集为空集;

若2a-2,解得a4b-4c

答案AD

解析对于A,B,因为m1,n-m=

(m+n)2-4mn=(-a-1)2-4(b-c),

所以(-a-1)2-4(b-c)>1,

两边平方得a2+2a>4b-4c,D正...