学生答案六~七章（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第六章数 列
第1节 数列的概念与简单表示法
知识诊断自测
知识梳理
1.确定的顺序
2.有限无限＞＜
4.序号n
诊断自测
1.(1)×(2)×(3)×(4)√[(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.]
2.C[由数列的通项公式得，
a1＝21，a2＝33，a12＝153.]
3.B[∵a1＝S1＝1＋1＝2，
an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，
当n＝1时，2n＝2＝a1，∴an＝2n.]
4.[由题意知a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝，a5＝2－＝，猜想an＝.]
考点聚焦突破
例1(1)(2)－2n－1[(1)因为
a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，①
所以a1＝22＝4，
当n≥2时，
a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2，②
由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1，
所以an＝(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，不满足上式，所以数列{an}的通项公式是an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列.
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.]
训练1(1)(2)－
[(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，
故an＝
(2)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为Sn≠0，所以－＝1，
即－＝－1.
又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列.
所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
所以Sn＝－.]
例2an＝
[根据题意，an＋1＝an＋n－1，
即an＋1－an＝n－1，
当n≥2时，可得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，
即an＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋1＋1
＝＋2＝.
又当n＝1时，a1＝1不满足an＝，
故an＝]
例3B[依题意，数列{an}满足
(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)，a1＝2，
则＝(n≥2)，所以当n≥2时，
an＝a1···…··＝2××××…××＝n(n＋1)，
a1也符合上式，所以an＝n(n＋1)，n∈N*，
且{an}是递增数列，
由an＝n(n＋1)f(x－1)＋f(x－2)，
令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；
令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；
令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；
不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，显然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故选B.]
教考衔接
典例ABD[该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且2026＝3×675＋1，
所以a2026是奇数，B正确；
由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2026＝a2027－a2025，
累加得a2＋a4＋…＋a2026＝a2027－a1，C错误；
由an＝an－1＋an－2(n≥3)，得
a＋a＋a＋…＋a
＝a1a2＋a＋a＋…＋a
＝a2(a1＋a2)＋a＋…＋a
＝a2a3＋a＋…＋a
＝a3(a2＋a3)＋…＋a
＝a3a4＋…＋a
＝…＝a2025a2026，
所以S2025＝(a＋a＋a＋…＋a)
＝a2025a2026，
所以＝，D正确.]
例5ABD[对于A，法一由＝an＋，
得an＋1＝a＋1≥1.
又a1＝1，所以an≥1，
所以＝an＋≥2＝2，
所以an＋1≥2an，当且仅当an＝，
即an＝1时取等号，故A正确.
法二由于＝an＋，
所以an＋1＝a＋1，
所以an＋1－2an＝a＋1－2an＝(an－1)2≥0，
所以an＋1≥2an，故A正确.
对于B，由于an＋1≥2an，得an＋1>an，
所以{an}为递增数列，
由a1＝1，y＝x＋在[1，＋∞)上单调递增，可得为递增数列，故B正确.
对于C，由an＋1＝a＋1，a1＝1，
得a2＝2，a3＝5，
所以a2－4a1＝－2，a3－4a2＝－3，所以数列{an＋1－4an}不是递增数列，故C错误.
对于D，因为an≥1，
所以an＋1－a＝1≤an＋1－an，
所以an＋1＝(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥n＋1，
所以an≥n，所以an＋1＝a＋1≥n2＋1，
则an≥(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，故D正确.]
例6B[由题易知an≠0.
∵an＋2an＋1＝0，∴＝－，
故{an}是公比为－的等比数列.
∵a3－a4＝－96，
∴a1－a1＝－96，
故a1＝－256，
∴an＝－256×，
∴Tn＝(－256)n×
＝(－1)n
＝(－1)·，
要使Tn取得最大值，则为偶数，
且取最小值，
由二次函数知识知，当n＝8或n＝9时，
取最小值，但只有n＝8时，使得为偶数，符合要求.]
训练3(1)D(2)C(3)3，－1
[(1)因为an＋3＝＝
＝＝＝an，
所以数列{an}是周期为3的数列，
所以a2026＝a3×675＋1＝a1，
因为a2＝11，所以11＝，
解得a1＝，故a2026＝a1＝.
(2)由题意得λ>0.
?n∈{1，2，3}，an>an＋1?>?λ，
∴0，且数列{an}单调递减；
当1≤n≤10时，0，a8>0，
∴a7·a8≤＝＝25，
当且仅当a7＝a8＝5时，等号成立.
此时数列为常数列，则an＝5，所以S10＝50.
(3)对于A，首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以(S15－S11)(S15－S12)＝(a15＋a14＋a13＋a12)×3a14＝6a14(a14＋a13)0，则a14＋a13>0，不符合题意，
所以a140，故A正确；
对于B，由A可知S15－S11＝a15＋a14＋a13＋a12＝2(a14＋a13)>0，则S15>S11，
S15－S12＝3a140，
所以a13>0，故n＝13时，Sn取最大值，故C错误；
对于D，由S27＝＝27a140，
且{an}是首项为正数的等差数列，故D正确.]
第3节 等比数列及其前n项和
知识诊断自测
知识梳理
1.(1)同一个q(2)ab
2.(1)a1qn－1(2)
3.(1)am·an(2)qm(3)qn
诊断自测
1.(1)×(2)×(3)×(4)×[(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，...
第1节 数列的概念与简单表示法
知识诊断自测
知识梳理
1.确定的顺序
2.有限无限＞＜
4.序号n
诊断自测
1.(1)×(2)×(3)×(4)√[(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.
(3)数列可以是常数列或摆动数列.]
2.C[由数列的通项公式得，
a1＝21，a2＝33，a12＝153.]
3.B[∵a1＝S1＝1＋1＝2，
an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，
当n＝1时，2n＝2＝a1，∴an＝2n.]
4.[由题意知a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝，a5＝2－＝，猜想an＝.]
考点聚焦突破
例1(1)(2)－2n－1[(1)因为
a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，①
所以a1＝22＝4，
当n≥2时，
a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2，②
由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1，
所以an＝(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，不满足上式，所以数列{an}的通项公式是an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列.
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.]
训练1(1)(2)－
[(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
又当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，
故an＝
(2)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因为Sn≠0，所以－＝1，
即－＝－1.
又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列.
所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
所以Sn＝－.]
例2an＝
[根据题意，an＋1＝an＋n－1，
即an＋1－an＝n－1，
当n≥2时，可得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，
即an＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋1＋1
＝＋2＝.
又当n＝1时，a1＝1不满足an＝，
故an＝]
例3B[依题意，数列{an}满足
(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)，a1＝2，
则＝(n≥2)，所以当n≥2时，
an＝a1···…··＝2××××…××＝n(n＋1)，
a1也符合上式，所以an＝n(n＋1)，n∈N*，
且{an}是递增数列，
由an＝n(n＋1)f(x－1)＋f(x－2)，
令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；
令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；
令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；
不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，显然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故选B.]
教考衔接
典例ABD[该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且2026＝3×675＋1，
所以a2026是奇数，B正确；
由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2026＝a2027－a2025，
累加得a2＋a4＋…＋a2026＝a2027－a1，C错误；
由an＝an－1＋an－2(n≥3)，得
a＋a＋a＋…＋a
＝a1a2＋a＋a＋…＋a
＝a2(a1＋a2)＋a＋…＋a
＝a2a3＋a＋…＋a
＝a3(a2＋a3)＋…＋a
＝a3a4＋…＋a
＝…＝a2025a2026，
所以S2025＝(a＋a＋a＋…＋a)
＝a2025a2026，
所以＝，D正确.]
例5ABD[对于A，法一由＝an＋，
得an＋1＝a＋1≥1.
又a1＝1，所以an≥1，
所以＝an＋≥2＝2，
所以an＋1≥2an，当且仅当an＝，
即an＝1时取等号，故A正确.
法二由于＝an＋，
所以an＋1＝a＋1，
所以an＋1－2an＝a＋1－2an＝(an－1)2≥0，
所以an＋1≥2an，故A正确.
对于B，由于an＋1≥2an，得an＋1>an，
所以{an}为递增数列，
由a1＝1，y＝x＋在[1，＋∞)上单调递增，可得为递增数列，故B正确.
对于C，由an＋1＝a＋1，a1＝1，
得a2＝2，a3＝5，
所以a2－4a1＝－2，a3－4a2＝－3，所以数列{an＋1－4an}不是递增数列，故C错误.
对于D，因为an≥1，
所以an＋1－a＝1≤an＋1－an，
所以an＋1＝(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥n＋1，
所以an≥n，所以an＋1＝a＋1≥n2＋1，
则an≥(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，故D正确.]
例6B[由题易知an≠0.
∵an＋2an＋1＝0，∴＝－，
故{an}是公比为－的等比数列.
∵a3－a4＝－96，
∴a1－a1＝－96，
故a1＝－256，
∴an＝－256×，
∴Tn＝(－256)n×
＝(－1)n
＝(－1)·，
要使Tn取得最大值，则为偶数，
且取最小值，
由二次函数知识知，当n＝8或n＝9时，
取最小值，但只有n＝8时，使得为偶数，符合要求.]
训练3(1)D(2)C(3)3，－1
[(1)因为an＋3＝＝
＝＝＝an，
所以数列{an}是周期为3的数列，
所以a2026＝a3×675＋1＝a1，
因为a2＝11，所以11＝，
解得a1＝，故a2026＝a1＝.
(2)由题意得λ>0.
?n∈{1，2，3}，an>an＋1?>?λ，
∴0，且数列{an}单调递减；
当1≤n≤10时，0，a8>0，
∴a7·a8≤＝＝25，
当且仅当a7＝a8＝5时，等号成立.
此时数列为常数列，则an＝5，所以S10＝50.
(3)对于A，首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以(S15－S11)(S15－S12)＝(a15＋a14＋a13＋a12)×3a14＝6a14(a14＋a13)0，则a14＋a13>0，不符合题意，
所以a140，故A正确；
对于B，由A可知S15－S11＝a15＋a14＋a13＋a12＝2(a14＋a13)>0，则S15>S11，
S15－S12＝3a140，
所以a13>0，故n＝13时，Sn取最大值，故C错误；
对于D，由S27＝＝27a140，
且{an}是首项为正数的等差数列，故D正确.]
第3节 等比数列及其前n项和
知识诊断自测
知识梳理
1.(1)同一个q(2)ab
2.(1)a1qn－1(2)
3.(1)am·an(2)qm(3)qn
诊断自测
1.(1)×(2)×(3)×(4)×[(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)当a＝1时，...
