对点练29 函数与导数中的融合创新问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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对点练29 函数与导数中的融合创新问题
(分值：30分)
1.(13分)(2024·南京质检)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且limx→af(x)=limx→ag(x)=0,则limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x).
②设a>0，k是大于1的正整数，若函数f(x)满足：对任意x∈[0，a]，均有f(x)≥f成立，且limx→0f(x)＝0，则称函数f(x)为区间[0，a]上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断f(x)＝x3－3x是否为区间[0，3]上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：limx→0(1＋x)；(3)证明：
2.(17分)(2025·济南调研)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y＝f(x)上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义＝为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K＝limΔx→0＝(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y′，y″分别表示y＝f(x)在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆＋y2＝1在处的曲率；
(3)定义φ(y)＝为曲线y＝f(x)的“柯西曲率”.已知在曲线f(x)＝xlnx－2x上存在两点P(x1，f(x1))和Q(x2，f(x2))，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求＋的取值范围.
(分值：30分)
1.(13分)(2024·南京质检)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且limx→af(x)=limx→ag(x)=0,则limx→af(x)g(x)=limx→af'(x)g'(x).
②设a>0，k是大于1的正整数，若函数f(x)满足：对任意x∈[0，a]，均有f(x)≥f成立，且limx→0f(x)＝0，则称函数f(x)为区间[0，a]上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断f(x)＝x3－3x是否为区间[0，3]上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：limx→0(1＋x)；(3)证明：
2.(17分)(2025·济南调研)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y＝f(x)上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义＝为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K＝limΔx→0＝(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y′，y″分别表示y＝f(x)在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆＋y2＝1在处的曲率；
(3)定义φ(y)＝为曲线y＝f(x)的“柯西曲率”.已知在曲线f(x)＝xlnx－2x上存在两点P(x1，f(x1))和Q(x2，f(x2))，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求＋的取值范围.
