对点练40 三角函数模型及解三角形的实际应用（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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对点练40 三角函数模型及解三角形的实际应用
(分值：101分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是()
A.该弹簧振子的振幅为2cm
B.该弹簧振子的振动周期为1.6s
C.该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大
D.该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零
2.在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()
A.kmB.km
C.kmD.2km
3.(2025·湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约为(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan28°≈0.53)()
A.91米B.101米
C.111米D.121米
4.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置如图①所示.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为简谐运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|a1)，两次观测时镜子间的距离为am，人的“眼高”为hm，则建筑物的高度为()
A.mB.m
C.mD.m
8.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点间的距离为()
A.百米B.2百米
C.3百米D.2百米
二、多选题
9.(2025·广州调研)水车是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(1，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)，则下列结论正确的是()
A.φ＝
B.当t∈[0，2]时，函数y＝f(t)单调递增
C.当t∈[3，5]时，函数最小值为－2
D.当t＝9时，PA＝4
10.某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°方向，距离为12nmile，测得灯塔C在北偏西30°方向，距离为8nmile.货轮由A处向正北方向航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是()
A.A处与D处之间的距离是24nmile
B.灯塔C与D处之间的距离是16nmile
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
11.(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照.现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A为解放碑的最顶端，B为基座(即B在A的正下方)，在步行街上(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为100m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是()
A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADC
C.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADC
三、填空题
12.(2025·武汉质检)中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱大约需要46s，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m，如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度约为________m/s.
13.(2025·湘豫名校诊断)一场大雨过后，某市上空出现了圆弧形状的彩虹，某研究小组欲测量人们在地面可观察到的该彩虹(最外环)的弧长，已知彩虹所在圆面垂直于水平面，示意图如图所示，彩虹最高点为A，EF为彩虹所在圆面与水平面BCD的交线，点B为EF的中点，若在点C处测得点A的仰角为45°，在点D处测得点A的仰角为30°，并测得∠BCD＝120°，CD＝600m，EF＝1200m，则彩虹()所在圆的半径为________m，彩虹()的长度为________m.
14.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______m2.
四、解答题
15.(13分)(2025·西安质检)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围.
16.(15分)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)？
(分值：101分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是()
A.该弹簧振子的振幅为2cm
B.该弹簧振子的振动周期为1.6s
C.该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大
D.该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零
2.在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()
A.kmB.km
C.kmD.2km
3.(2025·湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约为(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan28°≈0.53)()
A.91米B.101米
C.111米D.121米
4.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置如图①所示.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为简谐运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y＝sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|a1)，两次观测时镜子间的距离为am，人的“眼高”为hm，则建筑物的高度为()
A.mB.m
C.mD.m
8.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点间的距离为()
A.百米B.2百米
C.3百米D.2百米
二、多选题
9.(2025·广州调研)水车是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(1，－)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)，则下列结论正确的是()
A.φ＝
B.当t∈[0，2]时，函数y＝f(t)单调递增
C.当t∈[3，5]时，函数最小值为－2
D.当t＝9时，PA＝4
10.某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°方向，距离为12nmile，测得灯塔C在北偏西30°方向，距离为8nmile.货轮由A处向正北方向航行到D处时，测得灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是()
A.A处与D处之间的距离是24nmile
B.灯塔C与D处之间的距离是16nmile
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
11.(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照.现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A为解放碑的最顶端，B为基座(即B在A的正下方)，在步行街上(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为100m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是()
A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADC
C.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADC
三、填空题
12.(2025·武汉质检)中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱大约需要46s，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m，如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度约为________m/s.
13.(2025·湘豫名校诊断)一场大雨过后，某市上空出现了圆弧形状的彩虹，某研究小组欲测量人们在地面可观察到的该彩虹(最外环)的弧长，已知彩虹所在圆面垂直于水平面，示意图如图所示，彩虹最高点为A，EF为彩虹所在圆面与水平面BCD的交线，点B为EF的中点，若在点C处测得点A的仰角为45°，在点D处测得点A的仰角为30°，并测得∠BCD＝120°，CD＝600m，EF＝1200m，则彩虹()所在圆的半径为________m，彩虹()的长度为________m.
14.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______m2.
四、解答题
15.(13分)(2025·西安质检)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围.
16.(15分)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)？
