对点练53 数列中的融合创新问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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对点练53 数列中的融合创新问题
(分值：60分)
1.(13分)(2025·重庆模拟)已知实数q≠0，定义数列{an}如下：如果n＝x0＋2x1＋22x2＋…＋2kxk，xi∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，则an＝x0＋x1q＋x2q2＋…＋xkqk.
(1)求a7和a8(用q表示)；
(2)令bn＝a2n－1，证明：bi＝a2n－1；
(3)若13时,Sn>9n2-7n2.
3.(15分)(2024·北京海淀区模拟)约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak－1，ak(a1ak则称k为数列{an}的“min点”.
(1)若an＝(－1)n(2n－3)(1≤n≤5)，求数列{an}的“min点”；
(2)已知有穷等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若数列存在“min点”，求正数a1的取值范围；
(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1－am≤p.
(分值：60分)
1.(13分)(2025·重庆模拟)已知实数q≠0，定义数列{an}如下：如果n＝x0＋2x1＋22x2＋…＋2kxk，xi∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，则an＝x0＋x1q＋x2q2＋…＋xkqk.
(1)求a7和a8(用q表示)；
(2)令bn＝a2n－1，证明：bi＝a2n－1；
(3)若13时,Sn>9n2-7n2.
3.(15分)(2024·北京海淀区模拟)约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak－1，ak(a1ak则称k为数列{an}的“min点”.
(1)若an＝(－1)n(2n－3)(1≤n≤5)，求数列{an}的“min点”；
(2)已知有穷等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若数列存在“min点”，求正数a1的取值范围；
(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1－am≤p.
