对点练68 双曲线

(分值：101分)

单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.

一、单选题

1.(2025·1月八省联考)双曲线x2－＝1的渐近线方程为()

A.y＝±xB.y＝±2x

C.y＝±3xD.y＝±4x

2.经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是()

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

3.(2025·石家庄质检)已知曲线C：＋＝1(m≠0)，则“m∈(0，6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()

A.B.

C.D.

5.(2025·兰州质检)已知双曲线E1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线E2：－＝1的离心率相同，且双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点，则双曲线E1的虚轴长为()

A.B.

C.D.10

6.(2025·温州质检)已知双曲线C：x2－＝1，其一条渐近线被圆(x－)2＋y2＝3截得的弦长为()

A.B.1

C.D.2

7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若|AB|的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为()

A.8B.12

C.16D.24

8.(2023·天津卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为()

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

二、多选题

9.(2025·湖北八市联考)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y＝的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则()

A.y＝－x是它的一条对称轴

B.它的离心率为

C.点(2，2)是它的一个焦点

D.||PM|－|PN||＝2

10.已知曲线C：x2sinα＋y2cosα＝1(0≤α0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是()

A.弦AB的最小值为

B.若AB＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a

C.若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝

D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)

三、填空题

12.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为____________.

13.(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________.

14.(2025·南昌模拟)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上，且满足·＝9，则点P到双曲线C两条渐近线的距离之和为________.

四、解答题

15.(13分)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.

(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；

(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.





16.(15分)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.

(1)求C的离心率；

(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.