对点练72 圆锥曲线的切线与光学性质（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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对点练72 圆锥曲线的切线与光学性质
(分值：101分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为()
A.1B.2
C.4D.8
2.已知过圆锥曲线＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1，过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为()
A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0
3.(2025·广州质检)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为()
A.B.
C.D.
4.已知过点P(1，2)可作双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为()
A.(，＋∞)B.(1，)
C.(1，)D.(，＋∞)
5.(2025·温州调研)抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点(不同于顶点)反射后，反射光线平行于抛物线的轴，现有抛物线C：y2＝2px(p>0)，一平行于x轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着x轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为()
A.y2＝2xB.y2＝4x
C.y2＝8xD.y2＝16x
6.已知点P(x，y)是椭圆＋＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为()
A.B.
C.5＋D.5－
7.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的大小为()
A.B.
C.D.
8.(2025·西安质检)定义：若点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则以P为切点的切线方程为＋＝1.已知椭圆C：＋＝1，点M为直线x－2y－6＝0上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点()
A.B.
C.D.
二、多选题
9.(2025·南京调研)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是()
A.2B.4
C.6D.8
10.已知O为坐标原点，点Q(－2，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过直线x＝2上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，则·的取值可以是()
A.－3B.－4
C.－5D.－6
11.(2025·兰州诊断)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，一条光线从A(5，y1)沿平行于x轴的直线l1发出，与抛物线交于点P，经过点P反射后，与抛物线交于另一点Q，经过点Q反射后，沿平行于x轴的直线l2进入光源接收器B(5，y2)，则()
A.当点P，Q的横坐标之积为1时，抛物线的方程为y2＝4x
B.当y1＝2p，且|PQ|＝时，直线PQ的方程为4x－3y－4＝0
C.当直线l1，l2间的最小距离为8时，该光线经过的路程为12
D.点M为抛物线的准线上任意一点，设直线MP，MQ，MF的斜率分别为k1，k2，k3，当y1y2＝－4时，有k1＋k2＝2k3恒成立
三、填空题
12.(2025·武汉调研)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的长轴为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点以垂直于长轴的方向发出，第一次回到左焦点所经过的路程为4c，则椭圆C的离心率为________.
13.已知P为直线y＝－x－1上一动点，过点P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别记为A，B，则原点O到直线AB距离的最大值为________.
14.(2025·重庆联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，B(4，3)，动点P满足＝，记动点P的轨迹为曲线Γ，点Q在抛物线C：x2＝8y上运动，过点Q作曲线Γ的切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值为________.
15.(13分)(2025·北京昌平区调研)圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为2，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8.由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
(1)求抛物线C1的方程；
(2)若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长.
16.(15分)(2025·苏州调研节选)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E.当l的斜率为1时，|AB|＝8.
(1)求C的方程；
(2)设C在点E处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值.
(分值：101分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为()
A.1B.2
C.4D.8
2.已知过圆锥曲线＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1，过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为()
A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0
3.(2025·广州质检)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为()
A.B.
C.D.
4.已知过点P(1，2)可作双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为()
A.(，＋∞)B.(1，)
C.(1，)D.(，＋∞)
5.(2025·温州调研)抛物线的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点(不同于顶点)反射后，反射光线平行于抛物线的轴，现有抛物线C：y2＝2px(p>0)，一平行于x轴的光线射向抛物线，经抛物线两次反射之后，又沿着x轴方向射出，若两平行线间的距离的最小值为8，则抛物线的方程为()
A.y2＝2xB.y2＝4x
C.y2＝8xD.y2＝16x
6.已知点P(x，y)是椭圆＋＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为()
A.B.
C.5＋D.5－
7.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点)，∠F1F2P的大小为()
A.B.
C.D.
8.(2025·西安质检)定义：若点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则以P为切点的切线方程为＋＝1.已知椭圆C：＋＝1，点M为直线x－2y－6＝0上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点()
A.B.
C.D.
二、多选题
9.(2025·南京调研)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是()
A.2B.4
C.6D.8
10.已知O为坐标原点，点Q(－2，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过直线x＝2上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，则·的取值可以是()
A.－3B.－4
C.－5D.－6
11.(2025·兰州诊断)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，一条光线从A(5，y1)沿平行于x轴的直线l1发出，与抛物线交于点P，经过点P反射后，与抛物线交于另一点Q，经过点Q反射后，沿平行于x轴的直线l2进入光源接收器B(5，y2)，则()
A.当点P，Q的横坐标之积为1时，抛物线的方程为y2＝4x
B.当y1＝2p，且|PQ|＝时，直线PQ的方程为4x－3y－4＝0
C.当直线l1，l2间的最小距离为8时，该光线经过的路程为12
D.点M为抛物线的准线上任意一点，设直线MP，MQ，MF的斜率分别为k1，k2，k3，当y1y2＝－4时，有k1＋k2＝2k3恒成立
三、填空题
12.(2025·武汉调研)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的长轴为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点以垂直于长轴的方向发出，第一次回到左焦点所经过的路程为4c，则椭圆C的离心率为________.
13.已知P为直线y＝－x－1上一动点，过点P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别记为A，B，则原点O到直线AB距离的最大值为________.
14.(2025·重庆联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，B(4，3)，动点P满足＝，记动点P的轨迹为曲线Γ，点Q在抛物线C：x2＝8y上运动，过点Q作曲线Γ的切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值为________.
15.(13分)(2025·北京昌平区调研)圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为2，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8.由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
(1)求抛物线C1的方程；
(2)若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长.
16.(15分)(2025·苏州调研节选)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l过点F交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线相交于点P，AB的中点为Q，且PQ交C于点E.当l的斜率为1时，|AB|＝8.
(1)求C的方程；
(2)设C在点E处的切线与PA，PB分别交于点M，N，求四边形ABNM面积的最小值.
