对点练73 圆锥曲线中的轨迹问题（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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对点练73 圆锥曲线中的轨迹问题
(分值：101分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.(2025·开封模拟)已知△ABC的周长为12，且|BC|＝4，则△ABC的顶点A的轨迹为()
A.椭圆B.直线
C.圆D.线段
2.设P为双曲线－y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是()
A.x2－4y2＝1B.4y2－x2＝1
C.x2－＝1D.－y2＝1
3.动圆M经过定点P(4，－1)，且与y轴相切，则圆心M的轨迹为()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
4.设A1，A2是椭圆＋＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()
A.＋＝1(x≠±3)B.＋＝1(x≠±3)
C.－＝1(x≠±3)D.－＝1(x≠±3)
5.已知两点A(－5，0)，B(5，0)，若直线上存在点P，使|PA|－|PB|＝6，同时存在点Q，使|QB|－|QA|＝6，则称该直线“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是()
A.y＝xB.x＝2
C.y＝x＋1D.y＝2x
6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且＋＝，记点B的轨迹为E，则曲线E的方程为()
A.x2＝4y(y≠0且y≠1)
B.x2＝－4y(y≠0且y≠1)
C.y2＝4x(x≠0且x≠1)
D.y2＝－4x(x≠0且x≠1)
7.(2025·杭州质检)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01时，轨迹为双曲线.现有方程＝|3x＋4y－12|表示的圆锥曲线为()
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.以上都不对
8.(2025·长沙调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1的所成角为45°时，点Q的轨迹为()
A.圆B.直线
C.抛物线D.椭圆
二、多选题
9.(2025·济宁模拟)已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列说法正确的是()
A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支
D.点Q的轨迹可能是抛物线
10.已知A，B两点的坐标为(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，直线AM，BM斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是()
A.若k1＋k2＝2，则M的轨迹方程为y＝x－
B.若k1－k2＝2，则M在一条抛物线上
C.若k1·k2＝2，则M的轨迹为双曲线
D.若＝2，则M轨迹方程为x＝－3(y≠0)
11.已知点M(0，2)，直线l：y＝－3，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是()
A.点P的轨迹曲线是一条线段
B.点P的轨迹与直线l0：y＝－1无交点
C.y＝2x－3是“最远距离直线”
D.y＝x－1不是“最远距离直线”
三、填空题
12.参数方程(t为参数)化为关于x，y的一般方程为________________.
13.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(－1，2)，且＋＝0，动点P与M，N连线的斜率之积为－，则动点P的轨迹方程为____________.
14.(2025·广州模拟)已知曲线C是平面内到定点F(0，－2)与到定直线l：y＝2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T(－2，t)，用m(t)表示|PF|＋|PT|的最小值，则m(t)的值为________.
四、解答题
15.(13分)已知点P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ.
(1)求点N的轨迹方程；
(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值.
16.(15分)已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1，0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x＝4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明：△FMN的周长为定值.
(分值：101分)
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分.
一、单选题
1.(2025·开封模拟)已知△ABC的周长为12，且|BC|＝4，则△ABC的顶点A的轨迹为()
A.椭圆B.直线
C.圆D.线段
2.设P为双曲线－y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是()
A.x2－4y2＝1B.4y2－x2＝1
C.x2－＝1D.－y2＝1
3.动圆M经过定点P(4，－1)，且与y轴相切，则圆心M的轨迹为()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
4.设A1，A2是椭圆＋＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()
A.＋＝1(x≠±3)B.＋＝1(x≠±3)
C.－＝1(x≠±3)D.－＝1(x≠±3)
5.已知两点A(－5，0)，B(5，0)，若直线上存在点P，使|PA|－|PB|＝6，同时存在点Q，使|QB|－|QA|＝6，则称该直线“一箭双雕线”，给出下列直线，其中为“一箭双雕线”的是()
A.y＝xB.x＝2
C.y＝x＋1D.y＝2x
6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且＋＝，记点B的轨迹为E，则曲线E的方程为()
A.x2＝4y(y≠0且y≠1)
B.x2＝－4y(y≠0且y≠1)
C.y2＝4x(x≠0且x≠1)
D.y2＝－4x(x≠0且x≠1)
7.(2025·杭州质检)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01时，轨迹为双曲线.现有方程＝|3x＋4y－12|表示的圆锥曲线为()
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.以上都不对
8.(2025·长沙调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1的所成角为45°时，点Q的轨迹为()
A.圆B.直线
C.抛物线D.椭圆
二、多选题
9.(2025·济宁模拟)已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列说法正确的是()
A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支
D.点Q的轨迹可能是抛物线
10.已知A，B两点的坐标为(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，直线AM，BM斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是()
A.若k1＋k2＝2，则M的轨迹方程为y＝x－
B.若k1－k2＝2，则M在一条抛物线上
C.若k1·k2＝2，则M的轨迹为双曲线
D.若＝2，则M轨迹方程为x＝－3(y≠0)
11.已知点M(0，2)，直线l：y＝－3，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是()
A.点P的轨迹曲线是一条线段
B.点P的轨迹与直线l0：y＝－1无交点
C.y＝2x－3是“最远距离直线”
D.y＝x－1不是“最远距离直线”
三、填空题
12.参数方程(t为参数)化为关于x，y的一般方程为________________.
13.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(－1，2)，且＋＝0，动点P与M，N连线的斜率之积为－，则动点P的轨迹方程为____________.
14.(2025·广州模拟)已知曲线C是平面内到定点F(0，－2)与到定直线l：y＝2的距离之和等于6的点的轨迹，若点P在C上，对给定的点T(－2，t)，用m(t)表示|PF|＋|PT|的最小值，则m(t)的值为________.
四、解答题
15.(13分)已知点P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ.
(1)求点N的轨迹方程；
(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值.
16.(15分)已知点B是圆C：(x－1)2＋y2＝16上的任意一点，点F(－1，0)，线段BF的垂直平分线交BC于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x＝4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明：△FMN的周长为定值.
