对点练90 概率与统计（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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对点练90 概率与统计
(分值：60分)
1.(13分)(2025·长沙适应性考试)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：
产品
产品情况
优质品
非优质品
更新前
24
16
更新后
48
12
(1)依据小概率值α＝0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率.
(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.
①求经核查认定设备更新失败的概率p；
②根据p的大小解释核查方案是否合理.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
2.(15分)(2025·昆明检测)某企业为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2018年至2024年研发资金的投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码i
1
2
3
4
5
6
7
研发资金的
投入额xi
10
30
40
60
80
90
110
年收入的
附加额yi
3.20
4.00
4.80
6.00
7.30
7.45
9.25
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)若年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这3个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望.
参考数据：xiyi＝2976，yi＝42，x＝32800.
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=n∑i=1(xi-x)(yi-y)n∑i=1(xi-x)2=n∑i=1xiyi-nxyn∑i=1xi2-nx2,a=y-bx.
3.(15分)(2025·郑州调研)某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α＝0.001的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联；
性别
是否喜欢排球运动
是
否
男生
女生
(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得P(X＝k)取得最大值时的k值.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.001＝10.828.
4.(17分)(2025·广州模拟)某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位：cm)，经统计得到下面的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2；(用每组的中点代表该组的均值)
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N(μ，σ2)，用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ的估计值.
①为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果出现了关键指标在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中拙测的10个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备；
②若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件的关键指标在
[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件个数，求P(X≥1)及X的数学期望.
参考公式：直方图的方差s2＝(xi－)2pi，其中xi为各区间的中点值，pi为各组的频率.
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，≈0.105，≈0.110，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733.
(分值：60分)
1.(13分)(2025·长沙适应性考试)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：
产品
产品情况
优质品
非优质品
更新前
24
16
更新后
48
12
(1)依据小概率值α＝0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率.
(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.
①求经核查认定设备更新失败的概率p；
②根据p的大小解释核查方案是否合理.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
2.(15分)(2025·昆明检测)某企业为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金.为了解研发资金的投入额x(单位：千万元)对年收入的附加额y(单位：千万元)的影响，对2018年至2024年研发资金的投入额xi和年收入的附加额yi进行研究，得到相关数据如下：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码i
1
2
3
4
5
6
7
研发资金的
投入额xi
10
30
40
60
80
90
110
年收入的
附加额yi
3.20
4.00
4.80
6.00
7.30
7.45
9.25
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)若年收入的附加额与研发资金的投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这3个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望.
参考数据：xiyi＝2976，yi＝42，x＝32800.
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=n∑i=1(xi-x)(yi-y)n∑i=1(xi-x)2=n∑i=1xiyi-nxyn∑i=1xi2-nx2,a=y-bx.
3.(15分)(2025·郑州调研)某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α＝0.001的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联；
性别
是否喜欢排球运动
是
否
男生
女生
(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得P(X＝k)取得最大值时的k值.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.001＝10.828.
4.(17分)(2025·广州模拟)某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位：cm)，经统计得到下面的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2；(用每组的中点代表该组的均值)
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N(μ，σ2)，用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ的估计值.
①为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果出现了关键指标在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中拙测的10个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备；
②若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件的关键指标在
[μ－3σ，μ＋3σ]之外的零件个数，求P(X≥1)及X的数学期望.
参考公式：直方图的方差s2＝(xi－)2pi，其中xi为各区间的中点值，pi为各组的频率.
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，≈0.105，≈0.110，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733.
