对点练18 导数的概念及运算

1.D[因为limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx=2,

所以limΔx→0f(2-Δx)-f(2)2Δx=-12limΔx→0f(2-Δx)-f(2)-Δx=-12×2=-1.]

2.C[由y'=3x2-1,得y'|x=0=-1,

即直线l的斜率为-1,所以l的倾斜角为3π4.]

3.C[由题意得f(1)=12×1+2=52,f'(1)=12,所以f(1)+f'(1)=52+12=3.]

4.C[因为曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,

所以曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线的斜率为2,

因为f'(x)=ex+a,所以f'(0)=e0+a=1+a=2,所以a=1.]

5.A[由图可知,f'(3)-1),

所以f'(x)=x+1x+1-a=x+1+1x+1-a-1≥2(x+1)·1x+1-a-1=1-a,

当且仅当x+1=1x+1,即x=0时,等号成立,

因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线,

所以f'(x)min≥0,即1-a≥0,解得a≤1.]

9.BD[A中,x-1x'=1+1x2,

C中,(5x)'=5xln5,其余正确.]

10.BCD[因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3.

因为f'(0)=0,f(0)=1,

所以l0的方程为y=1.

因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6.]

11.CD[因为f(x)=x3+x,

所以f'(x)=3x2+1.

若A点是切点,则k=f'(1)=4,

则切线方程为y-2=4(x-1),

即4x-y-2=0,故C正确;

若A点不是切点,设切点为B(t,t3+t),

则曲线f(x)在B处的切线斜率为

kAB=f'(t)=3t2+1,

又因为直线AB的斜率为kAB=t3+t-2t-1,

则3t2+1=t3+t-2t-1,

化简可得(2t+1)(t-1)2=0,

解得t=-12(注意t≠1),

所以切线斜率为f'-12=74,

则切线方程为y-2=74(x-1),

即7x-4y+1=0,故D正确.]

12.e2-1[由f(x)=ex-f'(0)x得f'(x)=ex-f'(0),则f'(0)=e0-f'(0),得f'(0)=12,故f(x)=ex-12x,因此f(2)=e2-1.]

13.0[由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,∴f'(3)=-13.

∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),

∴g'(3)=f(3)+3f'(3),

又由题意可知f(3)=1,

∴g'(3)=1+3×-13=0.]

14.x-y=0[法一设曲线y=f(x)上任一点的坐标为(x,y),

则该点关于直线x-y=0的对称点为(y,x),

得x=ey-1,整理可得y=ln(x+1),

设切线与曲线y=ex-1,曲线y=ln(x+1)的切点分别为(x1,ex1-1),(x2,ln(x2+1)),

对y=ex-1和y=ln(x+1)分别求导得y'=ex,y'=1x+1,

则ex1=1x2+1,-x2x2+1+ln(x2+1)=ex1-1-x1ex1,

两式整理得x1=-(x2+1)ln(x2+1),

所以e-(x2+1)ln(x2+1)=1x2+1,

即(x2+1)-(x2+1)=(x2+1)-1,

解得x2=0,所以x1=0.

所以曲线y=ex-1与曲线y=ln(x+1)的公切线的公切点为(0,0),

则切线的斜率为1,故与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0.

法二因为y=ex与y=lnx的图象关于直线x-y=0对称,



所以与曲线y=ex-1关于直线x-y=0对称的曲线为y=ln(x+1),

由图象可知与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0.]

15.解(1)因为f'(x)=3x2-8x+5,

所以f'(2)=1,

又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,

即x-y-4=0.

(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),

因为f'(x0)=3x02-8x0+5,所以切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2),

又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),所以x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)·(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,

解得x0=2或x0=1,

所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.

16.解f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).

(1)由题意得f(0)=b=0,f'(0)=-a(a+2)=-3,

解得b=0,a=-3或1.

(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,

所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,

所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,

即4a2+4a+1>0,所以a≠-12.

所以a的取值范围为-∞,-12∪-12,+∞.

对点练19 导数与函数的单调性

1.A[由已知得,f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,当x2时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞).]

2.D[f'(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f'(x)0恒成立,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,

因为2.70恒成立,

所以函数f(x)在R上单调递增,

不等式f(2a2)+f(a-1)≤0?f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(-a+1),

于是2a2≤-a+1,即2a2+a-1≤0,

解得-1≤a≤12,

所以实数a的取值范围为-1,12.]

5.B[由题意,f'(x)=cosx-asinx≤0在π4,π2上恒成立,

即a≥cosxsinx=1tanx在π4,π2上恒成立.

因为y=tanx在π4,π2上单调递增,

所以y=tanx>1,

所以当x∈π4,π2时,00,当x>4时,f'(x)0,f(x)>0,即f(x)·f'(x)>0;

当x>6时,f'(x)0,

所以f(x)·f'(x)>0的解集为(1,4)∪(6,+∞).]

7.A[依题意f'(x)=-lnx+1x+a-1,

故f'(x)在(1,+∞)上有变号零点,

令g(x)=-lnx+1x+a-1,

令g(x)=0,得a=lnx-1x+1,

令z(x)=lnx-1x+1,

则z'(x)=1x+1x2,

由x>1,得z'(x)>0,z(x)在(1,+∞)上单调递增,

又由z(1)=0,得z(x)>0,故a=z(x)>0,

所以a的取值范围是(0,+∞).]

8.D[设y=x-1-lnx(x>1),

则y'=1-1x>0,

∴y=x-1-lnx在(1,+∞)上单调递增,

∴x-1-lnx>0,

∴lnx1时,g'(x)0恒成立,所以B正确;

C项,f'(x)=cosx-20),

令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)0,m+1≤3或m-1≥3,

解得1f23>f45,

故c>a>b.]

12.(-∞,1)[当x0,解得b>3或b0,

又esinx>0,∴cosxecosx≥sinxesinx.

令f(x)=xex,则f(cosx)≥f(sinx).

∵f'(x)=1-xex,

∴当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,

当x∈(1,+∞)时,f'(x)1,

当00,

f(x)在(1,+∞)上单调递增.

当a>e2时,令f'(x)=0,x=ln(2a),

当1ln(2a...