对点练答案30-45(四五章)（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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文件简介::
对点练30 任意角、弧度制和三角函数的概念
1.C[与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ+9π4(k∈Z)或k·360°+45°(k∈Z),
但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.]
2.D[∵cosπ3=12,∴P12,1,
∴sinα=1122+12=255.]
3.D[当角α的终边位于第一象限时,
取直线y=32x上位于第一象限的一个点的坐标,如(2,3),
则cosα=213=21313,
同理,当角α的终边位于第三象限时,取直线上一个点的坐标为(-2,-3),
则cosα=-21313.]
4.D[由tanθsinθ>0,得1cosθ>0,所以cosθ>0.
又sinθ·cosθ0,tanα=-320,sinα2>cosα2.B,D正确.]
12.120°或-240°[因为α=1560°=4×360°+120°,
所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,
令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°.]
13.2[由已知,得l+2R=40,
所以S=12lR=12(40-2R)R=20R-R2
=-(R-10)2+100.
所以当R=10(cm)时,S取得最大值,
此时l=20(cm),α=2.]
14.12[设扇形的半径为r,则扇形的面积为12αr2.
在Rt△PBO中,PB=rtanα,
所以△POB的面积为12r·rtanα.
由题意得12r2tanα=2×12αr2,
所以tanα=2α,所以αtanα=12.]
对点练31 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.C[sin600°=sin(240°+360°)=sin240°
=sin(180°+60°)=-sin60°=-32.]
2.D[因为角α的终边位于第二象限,
则cosα=-1-sin2α=-32,
所以sinπ2+α=cosα=-32.]
3.B[法一因为cosα1-sinα=2,
所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,
所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α
=cos2α+4sinαcosα+4sin2αsin2α+cos2α
=1+4tanα+4tan2α1+tan2α=4,
所以1+4tanα+4tan2α=4(1+tan2α),
即4tanα=3,
所以tanα=34.
法二因为cosα1-sinα=2,
所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,
所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=4,
即4sinαcosα=3cos2α,
所以tanα=34.]
4.A[sin5π4-α=sin3π2-π4+α
=-cosπ4+α=-13.]
5.C[因为cosα+π12+cosα+7π12=15,
所以cosα+π12-sinα+π12=15,
则cosα+π12-sinα+π122
=1-2cosα+π12sinα+π12=125,
则sin2α+π6=2425,
故cos2α+2π3=cos2α+π6+π2
=-sin2α+π6=-2425.]
6.A[由cos2α+3π2=817得sin2α=817,
所以2sinαcosα=817,
则2sinαcosαsin2α+cos2α=817,即2tanα1+tan2α=817,
解得tanα=4或tanα=14.
又α∈0,π4,所以00,
∴α∈0,π4,∴00,且-π20,cosα>0,
由sinα+cosαsinα-cosα=3>0,可得sinα-cosα>0,
故A正确,B错误;
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-cos2αsin2α+cos2α=tan2α-1tan2α+1=4-14+1=35,故C正确;
1-2sinαcosαsin2α-cos2α=(sinα-cosα)2(sinα-cosα)(sinα+cosα)
=sinα-cosαsinα+cosα=13,故D正确.]
12.1[因为tanα=sinαcosα=cosα,
故sinα=cos2α,
则11-sinα-1sinα=sinα-(1-sinα)(1-sinα)sinα
=2sinα-1sinα-sin2α=2sinα-1sinα-(1-cos2α)
=2sinα-1sinα-(1-sinα)=2sinα-12sinα-1=1.]
13.18[由sin(3π+θ)=13,可得sinθ=-13,
∴所求式=-cosθcosθ(-cosθ-1)+cosθ-cos2θ+cosθ
=11+cosθ+11-cosθ=2(1+cosθ)(1-cosθ)
=21-cos2θ=2sin2θ=18.]
14.-24175[由已知,得sinx+cosx=15,
两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125,
整理得2sinxcosx=-2425.
∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925,
由-π0,∴sinx-cosx0,tanB>0,tanC0,
则tanα+tanπ4+α=tanα+tanπ4+tanα1-tanπ4tanα
=tanα+1+tanα1-tanα=1,
整理可得tan2α-3tanα=0,解得tanα=3,
所以sin2α+1cos2α=cos2α+2sinαcosα+sin2αcos2α-sin2α
=(cosα+sinα)2(cosα-sinα)(cosα+sinα)
=cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.]
4.C[由sinα=13tan50°-1
=13sin50°cos50°-1=cos50°3sin50°-cos50°
=cos50°232sin50°-12cos50°
=cos50°2sin(50°-30°)=sin40°2sin20°
=2sin20°cos20°2sin20°=cos20°,
又α为锐角,所以α=70°.]
5.B[因为cos54°=sin36°,
即cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°,
则cos3β=sin2β,
即4cos3β-3cosβ=2sinβcosβ,
因为cosβ≠0,所以4cos2β-3=2sinβ,
即4(1-sin2β)-3=2sinβ,
整理得4sin2β+2sinβ-1=0,
解得sinβ=-2±208.
因为sin18°>0,所以sin18°=-1+54,
故t=5-12=2sin18°.]
6.A[法一tan10°+11-tan10°-11-2sin210°
=sin10°+cos10°cos10°-sin10°-1cos20°
=(sin10°+cos10°)2(cos10°-sin10°)(cos10°+sin10°)-1cos20°
=1+2sin10°cos10°cos210°-sin210°-1cos20°
=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.
法二tan10°+11-tan10°=tan10°+tan45°1-tan10°tan45°
=tan55°=1-cos110°sin110°=1+sin20°cos20°,
原式=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.]
7.A[法一cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=15,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=45,
cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβ=14,
由题知cosαcosβ≠0,分子分母同时除以
cosαcosβ得1-tanαtanβtanα-tanβ=14.①
由于00,-π20,所以0-33,则2β∈5π6,π,
因为α∈(0,π),tanα=-12>-33,
则α∈5π6,π,则α+2β∈5π3,2π,
所以α+2β=7π4.
对点练34 三角函数的图象与性质
1.D[对于f(x)=Acos(ωx+φ),T=2πω,
所以f(x)=cosx+π4的最小正周期是2π.]
2.B[由题意,得2sinπ2x-1≥0,
π2x∈π6+2kπ,5π6+2kπ(k∈Z),
则x∈13+4k,53+4k(k∈Z).]
3.B[f(x)=sin2x+cosx=-cos2x+cosx+1=-cosx-122+54,
...
1.C[与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ+9π4(k∈Z)或k·360°+45°(k∈Z),
但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.]
2.D[∵cosπ3=12,∴P12,1,
∴sinα=1122+12=255.]
3.D[当角α的终边位于第一象限时,
取直线y=32x上位于第一象限的一个点的坐标,如(2,3),
则cosα=213=21313,
同理,当角α的终边位于第三象限时,取直线上一个点的坐标为(-2,-3),
则cosα=-21313.]
4.D[由tanθsinθ>0,得1cosθ>0,所以cosθ>0.
又sinθ·cosθ0,tanα=-320,sinα2>cosα2.B,D正确.]
12.120°或-240°[因为α=1560°=4×360°+120°,
所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,
令k=-1或k=0,可得θ=-240°或θ=120°.]
13.2[由已知,得l+2R=40,
所以S=12lR=12(40-2R)R=20R-R2
=-(R-10)2+100.
所以当R=10(cm)时,S取得最大值,
此时l=20(cm),α=2.]
14.12[设扇形的半径为r,则扇形的面积为12αr2.
在Rt△PBO中,PB=rtanα,
所以△POB的面积为12r·rtanα.
由题意得12r2tanα=2×12αr2,
所以tanα=2α,所以αtanα=12.]
对点练31 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.C[sin600°=sin(240°+360°)=sin240°
=sin(180°+60°)=-sin60°=-32.]
2.D[因为角α的终边位于第二象限,
则cosα=-1-sin2α=-32,
所以sinπ2+α=cosα=-32.]
3.B[法一因为cosα1-sinα=2,
所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,
所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α
=cos2α+4sinαcosα+4sin2αsin2α+cos2α
=1+4tanα+4tan2α1+tan2α=4,
所以1+4tanα+4tan2α=4(1+tan2α),
即4tanα=3,
所以tanα=34.
法二因为cosα1-sinα=2,
所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,
所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=4,
即4sinαcosα=3cos2α,
所以tanα=34.]
4.A[sin5π4-α=sin3π2-π4+α
=-cosπ4+α=-13.]
5.C[因为cosα+π12+cosα+7π12=15,
所以cosα+π12-sinα+π12=15,
则cosα+π12-sinα+π122
=1-2cosα+π12sinα+π12=125,
则sin2α+π6=2425,
故cos2α+2π3=cos2α+π6+π2
=-sin2α+π6=-2425.]
6.A[由cos2α+3π2=817得sin2α=817,
所以2sinαcosα=817,
则2sinαcosαsin2α+cos2α=817,即2tanα1+tan2α=817,
解得tanα=4或tanα=14.
又α∈0,π4,所以00,
∴α∈0,π4,∴00,且-π20,cosα>0,
由sinα+cosαsinα-cosα=3>0,可得sinα-cosα>0,
故A正确,B错误;
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-cos2αsin2α+cos2α=tan2α-1tan2α+1=4-14+1=35,故C正确;
1-2sinαcosαsin2α-cos2α=(sinα-cosα)2(sinα-cosα)(sinα+cosα)
=sinα-cosαsinα+cosα=13,故D正确.]
12.1[因为tanα=sinαcosα=cosα,
故sinα=cos2α,
则11-sinα-1sinα=sinα-(1-sinα)(1-sinα)sinα
=2sinα-1sinα-sin2α=2sinα-1sinα-(1-cos2α)
=2sinα-1sinα-(1-sinα)=2sinα-12sinα-1=1.]
13.18[由sin(3π+θ)=13,可得sinθ=-13,
∴所求式=-cosθcosθ(-cosθ-1)+cosθ-cos2θ+cosθ
=11+cosθ+11-cosθ=2(1+cosθ)(1-cosθ)
=21-cos2θ=2sin2θ=18.]
14.-24175[由已知,得sinx+cosx=15,
两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125,
整理得2sinxcosx=-2425.
∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925,
由-π0,∴sinx-cosx0,tanB>0,tanC0,
则tanα+tanπ4+α=tanα+tanπ4+tanα1-tanπ4tanα
=tanα+1+tanα1-tanα=1,
整理可得tan2α-3tanα=0,解得tanα=3,
所以sin2α+1cos2α=cos2α+2sinαcosα+sin2αcos2α-sin2α
=(cosα+sinα)2(cosα-sinα)(cosα+sinα)
=cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.]
4.C[由sinα=13tan50°-1
=13sin50°cos50°-1=cos50°3sin50°-cos50°
=cos50°232sin50°-12cos50°
=cos50°2sin(50°-30°)=sin40°2sin20°
=2sin20°cos20°2sin20°=cos20°,
又α为锐角,所以α=70°.]
5.B[因为cos54°=sin36°,
即cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°,
则cos3β=sin2β,
即4cos3β-3cosβ=2sinβcosβ,
因为cosβ≠0,所以4cos2β-3=2sinβ,
即4(1-sin2β)-3=2sinβ,
整理得4sin2β+2sinβ-1=0,
解得sinβ=-2±208.
因为sin18°>0,所以sin18°=-1+54,
故t=5-12=2sin18°.]
6.A[法一tan10°+11-tan10°-11-2sin210°
=sin10°+cos10°cos10°-sin10°-1cos20°
=(sin10°+cos10°)2(cos10°-sin10°)(cos10°+sin10°)-1cos20°
=1+2sin10°cos10°cos210°-sin210°-1cos20°
=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.
法二tan10°+11-tan10°=tan10°+tan45°1-tan10°tan45°
=tan55°=1-cos110°sin110°=1+sin20°cos20°,
原式=1+sin20°cos20°-1cos20°=sin20°cos20°=mn.]
7.A[法一cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=15,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=45,
cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβ=14,
由题知cosαcosβ≠0,分子分母同时除以
cosαcosβ得1-tanαtanβtanα-tanβ=14.①
由于00,-π20,所以0-33,则2β∈5π6,π,
因为α∈(0,π),tanα=-12>-33,
则α∈5π6,π,则α+2β∈5π3,2π,
所以α+2β=7π4.
对点练34 三角函数的图象与性质
1.D[对于f(x)=Acos(ωx+φ),T=2πω,
所以f(x)=cosx+π4的最小正周期是2π.]
2.B[由题意,得2sinπ2x-1≥0,
π2x∈π6+2kπ,5π6+2kπ(k∈Z),
则x∈13+4k,53+4k(k∈Z).]
3.B[f(x)=sin2x+cosx=-cos2x+cosx+1=-cosx-122+54,
...
