对点练46 数列的概念与简单表示法

1.B[an=1-2n+1,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知数列{an}是递增数列.]

2.A[数列为12,62,112,162,212,…,其分母为2,分子可表示为1+5(n-1)=5n-4,

因此通项公式可能为an=5n-42.]

3.C[因为an+1-an=2n,

所以a2-a1=2,a3-a2=22,

a4-a3=23,

a5-a4=24,…,a10-a9=29,

累加可得a10-a1=2+22+23+…+29=2(1-29)1-2=210-2,

所以a10=210-1=1023.]

4.B[当n=1时,a2=2S1+1=3,

当n≥2时,an+1=2Sn+1,①

an=2Sn-1+1,②

由①-②得

an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2),

且当n=1时上式也成立,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,a5=1×34=81.]

5.D[依题意,因为4(Sn-Sn-1)-Sn+1=0,

所以Sn+1-2Sn=2Sn-4Sn-1=2(Sn-2Sn-1),n≥2,

又S2-2S1=(a1+a2)-2×3=0,

所以Sn=2Sn-1,n≥2,又S1=a1=3,

所以数列{Sn}是以3为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=3×2n-1.

n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×2n-2,

n=1时,a1=S1=3,不符合上式,

所以an=3,n=1,3×2n-2,n≥2,

S5=a1+a2+a3+a4+a5

=3+3+6+12+24=48.]

6.A[∵Sn=n(2n-1)an,

∴当n≥2时,Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1,

两式相减可得

an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1,

∴(2n+1)an=(2n-3)an-1,

∴anan-1=2n-32n+1,

因此an=a1×a2a1×a3a2×a4a3×…×anan-1

=13×15×37×…×2n-52n-1×2n-32n+1

=1(2n-1)(2n+1),

当n=1时,也满足上式,

∴an=1(2n-1)(2n+1),n∈N*.]

7.C[∵数列{an}的前n项积bn=1-27n,

当n=1时,a1=57;

当n≥2时,bn-1=1-27(n-1),

an=bnbn-1=1-27n1-27(n-1)=2n-72n-9=1+22n-9,

当n=1时也适合上式,

∴an=1+22n-9,

∴当n≤4时,数列{an}单调递减,且an1,

故an的最大值为a5=3,最小值为a4=-1,

∴an的最大值与最小值之和为2.]

8.D[an+1=annan+1两边取倒数得1an+1=nan+1an=1an+n,

所以1a2-1a1=1,1a3-1a2=2,…,1an-1an-1=n-1,

由累加法可得1an-1a1=1+2+…+(n-1)=n(n-1)2,

因为a1=8,所以1an=n(n-1)2+18

=(2n-1)28,

所以bn=1an+λ12n

=(2n-1)28+λ12n,

因为数列{bn}是递减数列,所以bn-4n2+20n-178=-4n-522+88,

因为n≥2,n∈N*,

所以-4n-522+88max

=-4×2-522+88=78,

故λ∈78,+∞.]

9.BCD[假设第n项为{an}的最大项,

则an≥an-1,an≥an+1,

即(n+2)·67n≥(n+1)·67n-1,(n+2)·67n≥(n+3)·67n+1,

所以n≤5,n≥4,

又n∈N*,所以n=4或n=5,

故数列{an}中a4与a5均为最大项,

且a4=a5=6574,

当n≥5时,数列{an}递减.]

10.ABC[A项,S7=a1+a2+a3+…+a7

=1+1+2+3+5+8+13=33,A正确;

B项,S2026+S2025-S2024-S2023=

a2025+a2026+a2024+a2025

=a2027+a2026=a2028,B正确;

C项,a1+a3+a5+…+a2027=a2+a3+a5+…+a2027=a4+a5+…+a2027=a6+…+a2027=a2026+a2027=a2028,C正确;

D项,a12=a2a1,a22=a2(a3-a1)=a2a3-a1a2,a32=a3a4-a2a3,a42=a4a5-a3a4,…,a20252=a2025a2026-a2024a2025,a20262=a2026a2027-a2025a2026,

所以a12+a22+a32+…+a20262=a2026a2027,D错误.]

11.ACD[因为an+1-an=an+an2+12-an=an2+1-an2>0,

即an+1>an,所以数列{an}为递增数列,

则a2026>a2025,A正确;

因为数列{an}为递增数列且an≥1>0,

所以1an2为递减数列,B错误;

由an+1=an+an2+12,

可得2an+1-an=an2+1,

两边平方整理得4an+12-1=4an+1an,C正确;

将4an+12-1=4an+1an两边都除以4an+1得an=an+1-14an+1,

两边平方得an2=an+12+116an+12-12>an+12-12,即an+12-an20,即λ1,

∴{cn}为递增数列,∴λ0,

Sn=na1+n(n-1)2d=-3d2n+n2d-nd2=n2d2-2nd=d2(n2-4n+4-4)=d2(n-2)2-2d,

故当n=2时,Sn取得最大值.]

6.D[S9S13=9(a1+a9)213(a1+a13)2=9a513a7=913×399=3.]

7.A[由等差数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,

∵S3S6=13,即S6=3S3,(S6-S3)-S3=S3,

∴S9-S6=3S3,S12-S9=4S3,

∴S9=6S3,S12=10S3,

∴S6S12=3S310S3=310.]

8.A[空心纸筒直径为20mm,

则底面半径为10mm,

其周长为2π×10=20π(mm),

卷纸未使用时直径为80mm,

则底面半径为40mm,

其周长为2π×40=80π(mm),

又因为卫生纸厚度约为0.1mm,

则卷纸共有的层数约为80-202×0.1=300,

即每一圈的卷纸周长构成一个等差数列,

首项为20π,末项为80π,项数为300,

则这个卷筒卫生纸总长度即这个等差数列的前300项和,

S300=300(20π+80π)2=15000π(mm),

而15000πmm≈15000×3.14=47100mm≈47m.

即这个卷筒卫生纸总长度大约为47m.]

9.ACD[对于A,a3+a7=4,

则S9=9(a1+a9)2=9(a3+a7)2=18,A正确;

对于B,S15=15(a1+a15)2=15a8>0,

则a8>0,S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)0,

则S9=9a1+36d=9a1-1819a1>0,

S10=52a1-8138a10),

bn=p2n+q2(p2>0),

其中p1,q1,p2,q2均为常数,

∴an+bn=(p1+p2)·n+q1+q2,

∴an+1+bn+1-(an+bn)=p1+p2>0,

∴数列{an+bn}是等差数列,且为递增数列,故A,C正确;

对于D,∵anbn=(p1n+q1)(p2n+q2)

=p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2,

∴an+1bn+1-anbn=p1p2(n+1)2+(p1q2+p2q1)·(n+1)+q1q2-[p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2]

=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1,

p1p2>0,故an+1bn+1-anbn=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1不可能恒为常数,

故数列{anbn}不可能是等差数列,故D正确;

对于B,设an=n-2,bn=n-3,

则a1b1=2,a2b2=0,a3b3=0,数列{a...