对点练54 基本立体图形及几何体的表面积与体积

1.B[直观图的面积为24×32×42=26(cm2).]

2.A[对于A,根据棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱,则棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,故A正确;

对于B,以直角三角形的斜边为旋转轴,旋转所得的几何体不是圆锥,故B不正确;

对于C,用垂直于底面的平面去截圆锥,得到的不是一个圆锥和一个圆台,故C不正确;

对于D,空间中,到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面,而不是球体,故D不正确.]

3.B[设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,

所以2πr=πl,即l=2r,

所以πr2+πrl=3πr2=3π,解得r=1,

所以该圆锥的底面直径为2r=2.]

4.D[设木桶上、下底面的半径分别为r1,r2,高为h,母线长为l,

所以πr12=4π,πr22=π,故r1=2,r2=1.

因为木桶的体积为7π,

所以13(S上+S下+S上S下)·h=7π,

所以13(4π+π+4π·π)·h=7π,

解得h=3,

则l=32+12=10,

所以该木桶的侧面积为πl(r1+r2)=π×10×(2+1)=310π.]

5.B[如图所示,画出圆锥的侧面展开图,



可得∠CAB,∠CBA为锐角,故BC⊥SA.

由SC=CA,可得BS=BA,即△ASB为等边三角形,

所以∠ASA'=2π3,

则圆锥的侧面积为12×2π3×16=16π3,

底面积为π×4×2π32π2=16π9,

所以圆锥SO的表面积为16π3+16π9=64π9.]

6.B[如图,延长正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧棱交于点P,



记O1,O分别为正四棱台上、下底面的中心,

连接B1D1,BD,PO,

因为BB1⊥DD1,

所以△BPD为等腰直角三角形,

又上、下底面正方形的边长分别为1和2,

所以O1D1=22,OB=PO=2,

且O1为PO的中点,

所以OO1=12PO=22,

所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积V=13×(12+12×22+22)×22=726.]

7.B[根据题意,旋转一周所形成的几何体如图,



该几何体上部分为圆锥,下部分为在圆柱内除去一个与上部分相同的圆锥,其体积等于中间圆柱的体积,

且中间圆柱的高h=DC=2,

底面圆的半径

r=BCsin60°=2×32=3,

故所求几何体的体积V=πr2h=6π.]

8.D[

过点G作GH∥AC,交SA于点H,如图.



因为AC⊥AB,AC⊥AS,AB∩AS=A,

AB,AS?平面SAB,

所以AC⊥平面SAB,

又GH∥AC,所以GH⊥平面SAB,

且GHAC=SGSC=23,

可得GH=23AC=423.

因为E,F分别为SA,BS的中点,

所以S△SEF=14S△ABS=14×12×(22)2=1,

所以VG-SEF=13S△SEF·GH

=13×1×423=429,

VC-SAB=13S△SAB·AC

=13×12×(22)3=823,

因此VEFG-ABC=VC-SAB-VG-SEF

=823-429=2029.]

9.CD[A中,当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥,故A不正确;

B中,当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分,B不正确;

C中,长方体是直平行六面体,C正确;

D中,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体C1-ABC,四个面都是直角三角形,D正确.]



10.BC[对于A,如图1,



设三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S,高为h,

则三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=Sh,

因为D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,

则S△DEF=14S,则三棱锥A1-DEF的体积为13×14Sh=112V,故A错误;

对于B,如图1,

因为AF=12AC,DE綉12AC,

所以DE綉AF,

则四边形ADEF为平行四边形,

所以S四边形ADEF=12S,

则VA1-ADEF=13×12Sh=16V,故B正确;

对于C,



如图2,

由题易知△CEF∽

△C1B1A1,

棱柱上、下底面平行,并且E,F分别是棱BC,CA的中点,

则线段C1C,B1E,A1F的延长线交于一点,

则多面体CEFC1B1A1为棱台,且S△CEF=14S,

故VCEFC1B1A1=13hS+14S+S·14S

=712Sh=712V,

所以VA1B1ABEF=VABC-A1B1C1-VCEFC1B1A1=

V-712V=512V,故C正确;

对于D,



如图3,

因为S△ADF=S△BDE=S△CEF,所以VA1-ADF=VB1-BDE=VC1-CEF

=13×14Sh=112V,

则VA1B1C1DEF

=VABC-A1B1C1-VA1-ADF-VB1-BDE-VC1-CEF

=V-3×112V=34V,故D错误.]

11.AC[在△PAB中,由余弦定理得AB=23,如图,连接PO,易知圆锥的高h=PO=1,底面圆的半径r=AO=BO=3.

对于A,该圆锥的体积V=13πr2h=π,

故A正确;

对于B,该圆锥的侧面积S侧=πr·PA=23π,故B错误;

对于C,取AC的中点H,连接PH,OH.

因为OA=OC,所以OH⊥AC,

同理可得PH⊥AC,

则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO=45°,所以OH=PO=1,



AH=CH=AO2-OH2=2,

所以AC=22,故C正确;

对于D,PH=2OH=2,

S△PAC=12·AC·PH=2,故D错误.]

12.642[因为正n棱台的侧棱有n条,上、下底面共有2n条棱,

所以正n棱台共有3n条棱,

由3n>15,得n>5,所以n的最小值为6,

该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42.]

13.64[两圆台的上、下底面积对应相等,则两圆台的体积之比为高之比,

根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为4(r2-r1)2-(r2-r1)29(r2-r1)2-(r2-r1)2=38=64.]

14.1[如图,由正方体棱长为2及M,N分别为BB1,AB的中点,得





S△A1MN=2×2-2×12×2×1-12×1×1=32,

又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高,且D1A1=2,

所以VA1-D1MN=VD1?A1MN=13·S△A1MN·D1A1

=13×32×2=1.]

对点练55 与球有关的切、接问题

1.C[设正方体的棱长为a,其外接球的半径为R,内切球的半径为r,

则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长,

即2R=3a,...