对点练63 直线的方程

1.A[∵直线l的方程为x=-3,

∴直线与x轴垂直,∴直线l的倾斜角是π2.]

2.A[∵直线的方向向量为(1,2),

∴直线的斜率k=2,

又直线过点(1,1),

∴直线的方程为y-1=2(x-1),

即2x-y-1=0.]

3.D[直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1α3,所以00且BC0,

直线y=-ABx-CB的斜率小于零,

在y轴上的截距大于零,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.]

10.ABC[当直线经过原点时,斜率为k=2-01-0=2,

所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;

当直线不过原点时,

设所求的直线方程为x±y=t,

把点A(1,2)代入可得1-2=t或1+2=t,

求得t=-1或3,故所求的直线方程为

x-y+1=0或x+y-3=0.]

11.BD[根据直线倾斜角的范围为[0,π),

而π-α∈R,A不正确;

当x=y=0时,xsinα+ycosα+1=1≠0,

所以直线必不过原点,B正确;

当α=π2时,直线斜率不存在,C不正确;

当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=121-sinα·

1-cosα=1|sin2α≥1,D正确.]

12.π4[由题意知直线过点(-2,0),(0,2),

设直线斜率为k,倾斜角为α,

则k=tanα=2-00-(-2)=1,

又α∈[0,π),故倾斜角α=π4.]

13.2x+y-8=0[由题知M(2,4),N(3,2),

故中位线MN所在直线的方程为y-42-4=x-23-2,整理得2x+y-8=0.]

14.(2,1)3+22[将直线方程变形得x-2+k(y-1)=0,由y-1=0,x-2=0,解得x=2,y=1,

定点A的坐标为(2,1).

由于点A在直线mx-y+n=0上,

则有2m-1+n=0,所以2m+n=1.

所以1m+1n=(2m+n)1m+1n=3+2mn+nm≥3+22mn·nm=3+22,

当且仅当2mn=nm,

即当n=2m时等号成立.]

对点练64 两直线的位置关系

1.A[联立x=2,3x+2y-12=0,得x=2,y=3,

所以两条直线的交点坐标为(2,3).]

2.B[易知直线l1的斜率为12,

则直线l2的斜率为-1a=12,即a=-2,

故直线l2:x-2y-1=0,

所以l1和l2间的距离为|-1-1|12+(-2)2=255.]

3.C[由根与系数的关系得ka·kb=-1,

则a与b互相垂直.]

4.C[依题意得a-2+3|1+1=1,

解得a=-1+2(a=-1-2舍去).]

5.D[设D(x,y),则kCD=y-0x-3=yx-3,

kAD=y+1x-1.

由题意得kAB=2+12-1=3,

kCB=2-02-3=-2,

∵CD⊥AB,CB∥AD,

∴kCD·kAB=-1,kAD=kCB,∴yx-3×3=-1,y+1x-1=-2,

即x+3y=3,2x+y=1,解得x=0,y=1,即D(0,1).]

6.A[联立y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2.

把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,

所以m=-5-2n.

所以点(m,n)到原点的距离

d=m2+n2=(5+2n)2+n2

=5(n+2)2+5≥5,

当n=-2,m=-1时取等号.

所以点(m,n)到原点的距离的最小值为5.]

7.D[由题意,直线y=-3x+b与直线y=ax+2关于直线y=-x对称,

所以直线y=ax+2上的点(0,2)关于直线y=-x的对称点(-2,0)在直线y=-3x+b上,

所以(-3)×(-2)+b=0,

所以b=-6,所以直线y=-3x-6上的点(0,-6)关于直线y=-x的对称点(6,0)在直线y=ax+2上,

所以6a+2=0,所以a=-13.]

8.D[如图,设B(4,4)关于直线x-y+1=0对称的点为C(a,b).





则a+42-b+42+1=0,b-4a-4=-1,

解得a=3,b=5,

即C(3,5).

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|,|AC|=(1-3)2+(1-5)2=25.]

9.AC[(3,-2)关于x轴对称的点为(3,2),

关于y轴对称的点为(-3,-2).]

10.BC[由题意知,当点M到直线的距离不超过4时,符合要求.

对于A,点M(5,0)到直线y=x+1的距离为62=32>4,故不符合;

对于B,点M(5,0)到直线y=2的距离为2-0=24,故不符合.]

11.ACD[对于A,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R)变形为

m(x-y+2)+2x-y+5=0,

令x-y+2=0,2x-y+5=0,则x=-3,y=-1,

因此直线l2过定点(-3,-1),故A正确;

对于B,当m=1时,l1:4x-3y+4=0,

l2:3x-2y+7=0,

因为4×3+(-3)×(-2)≠0,

所以两直线不垂直,故B错误;

对于C,当m=2时,l1:4x-3y+4=0,

l2:4x-3y+9=0,因为44=-3-3≠94,所以两直线平行,故C正确;

对于D,当l1∥l2时,

则满足m+24=-(m+1)-3≠2m+54,得m=2,

此时,l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,

则两直线间的距离为|4-9|42+(-3)2=1,故D正确.]

12.2(a≠±1即可)[直线x+y=0与x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不经过原点,因此要满足条件,只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行,所以a≠±1.]

13.x+3y-5=0或x=-1[当直线与点P1,P2的连线所在的直线平行时,

由直线P1P2的斜率k=3-52+4=-13,

得所求直线的方程为y-2=-13(x+1),

即x+3y-5=0.

当直线过线段P1P2的中点时,

因为线段P1P2的中点坐标为(-1,4),

所以直线方程为x=-1.

综上,所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.]

14.2kx-2y+k2+1=0(-2≤k≤0)[当k=0时,点A和点D重合,此时折痕所在直线的方程为y=12;

当k≠0时,将矩形折叠后点A落在线段DC上的点设为G(a,1)(025知(3,3)在圆外;

由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上;

由(4-1)2+(2+2)2=25知(4,2)在圆上.]

2.A[依题意可知圆心坐标为(a,0),又直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以2a+0-1=0,所以a=12.]

3.D[因为圆心为(1,1)且过原点,

所以该圆的半径r=12+12=2,

则该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.]

4.B[由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,

得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a,

由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,

解得a>0或a0,解得b0)的圆心为(2,3),半径为r.因为圆与y轴相切,所以r=2.]

2.C[根据题意得圆O1的圆心O1(1,-2),半径为3,圆O2的圆心O2(-2,-1),半径为4,圆心距|O1O2|=10,

因为4-30,

解得-14,所以直线AB与圆M相离,所以点...