第10节 函数与方程

课标要求1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.



【知识梳理】

1.函数的零点

(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：



2.函数零点存在定理

(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②____________<0.

(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解.

[常用结论与微点提醒]

1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.

2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.



3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝2x的零点为0.()

(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)?D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()

2.(苏教必修一P253T8改编)函数f(x)＝的零点个数为()

A.3B.2

C.7D.0

3.(北师大必修一P132T3(2)改编)函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为()

A.(0，1)B.(1，2)

C.(2，3)D.(3，4)

4.(人教A必修一P156T13改编)若函数f(x)＝2x＋a在(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是________.





考点一 函数零点所在区间的判断

例1(1)(2025·东北师大附中模拟)方程log3x＋x＝2的根所在区间是()

A.(0，1)B.(1，2)

C.(2，3)D.(3，4)

(2)若a
A.(a，b)和(b，c)内

B.(－∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内

D.(－∞，a)和(c，＋∞)内





思维建模确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

训练1(1)根据表格中的数据可以判定方程lnx－x＋2＝0的一个根所在的区间为()



x

1

2

3

4

5

lnx

0

0.693

1.099

1.386

1.609

x－2

－1

0

1

2

3

A.(1，2)B.(2，3)

C.(3，4)D.(4，5)









(2)(2025·南昌调研)函数f(x)是函数y＝3x的反函数，函数g(x)＝f(x)＋2x－6的零点为a，且a∈(n，n＋1)(n∈N)，则n＝________.













考点二 函数零点个数的判断

例2(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝|log9x|的实根的个数为()

A.3B.4

C.5D.6















思维建模求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.

(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

训练2(1)(2025·海南质检)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为()

A.0B.1

C.2D.3

(2)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为()

A.6B.7

C.8D.9















考点三函数零点的应用

角度1 根据零点个数求参数范围

例3(2025·北京朝阳区质检)设函数f(x)＝x＋(m∈R)，则“－3
A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件







角度2 根据零点范围求参数范围

例4已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是()

A.B.

C.(－∞，0)D.







思维建模已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.

(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

训练3(1)(2025·榆林模拟)已知函数f(x)＝(x2－4x＋m)(4－m－1)恰有3个零点，则整数m的取值个数是()

A.1B.2

C.3D.4

(2)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是()

A.a<－B.a<－

C.－
嵌套函数的零点问题

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

一、判断嵌套函数的零点个数

例1(2025·漳州质检)已知函数f(x)＝则函数...