第10节 圆锥曲线的切线与光学性质（2026版创新设计高考数学总复习配套word文档学生版） 人教版
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第10节 圆锥曲线的切线与光学性质
知识拓展
1.圆锥曲线的切线问题常用方法有：
(1)几何法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题；
(2)代数法：比如涉及椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据Δ＝0来求解；比如涉及抛物线的切线问题，有时也可以通过求导求解；
(3)结论法(适用于小题)：
①圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)处的切线方程是x0x＋y0y＝r2；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是x0x＋y0y＝r2.
②椭圆＋＝(a>b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是＋＝1；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是＋＝1.
③双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是－＝1.
④抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0)；其外一点P(x0，y0)所引两条切线方程是y0y＝p(x＋x0).
注：替换的规则是x2→x0x，y2→y0y，x→，y→.
2.圆锥曲线的光学性质
(1)抛物线的光学性质：如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.
(2)椭圆的光学性质：如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝.
(3)双曲线的光学性质：如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点，如图6所示，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝.
题型一 切线问题
例1已知椭圆方程为＋＝1，求该椭圆在点P处的切线方程.
思维建模求切线的两种情况
(1)在曲线上某点的切线，用几何法(圆)、联立方程组法、导数法以及结论法可进行求解，其中结论适用于小题，解答时需要证明.
(2)过曲线上某点的切线，一般用联立方程组，判别式法来求斜率，但需讨论斜率的存在与否.
训练1(1)(2025·青岛调研)圆x2＋y2＝r2在点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类似地，可以求得椭圆＋＝1在点(2，1)处的切线方程为________.
(2)过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________.
题型二 切点弦问题
例2(2025·成都诊断)已知点P是直线l：y＝－2上一个动点，过点P作轨迹E：x2＝8y的两条切线，焦点为F，切点分别为A，B.
求证：(1)直线AB过定点；
(2)∠PFA＝∠PFB.
思维建模1.圆的切点弦方程可由以圆外点为圆心，切线长为半径的圆与该圆方程相减求得.
2.切点弦问题常涉及弦方程、弦长、弦过定点以及最值、范围问题.
训练2(1)过点M(0，－4)作圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()
A.2x－y＋3＝0B.x－7y＋18＝0
C.2x－5y＋5＝0D.x＋5y＋5＝0
(2)(2025·杭州调研)已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为()
A.3B.2
C.1D.0
题型三 光学性质的应用
例3(1)(2025·南昌质检)如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝1，过点P与直线l垂直的直线l′与椭圆的长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝()
A.∶B.1∶
C.1∶3D.1∶
(2)(2025·青岛调研)双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后被反射，则入射光线与反射光线的夹角余弦值是________.
思维建模光学性质问题往往与圆锥曲线中的新定义问题或者结合生活情境问题进行考查，教材中将其作为阅读内容，实际上圆锥曲线的光学性质与切线等问题联系密切，是高考热点问题.
训练3(1)(2025·石家庄调研)双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线F2P被双曲线反射后，反射光线为PE，若双曲线C在点P处的切线交x轴于点I，且|IF1|＝，则△PF1F2的周长为________.
(2)抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线.若一条平行于x轴的光线从M(3，1)射出，经抛物线y2＝4x上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为________.
椭圆中的蒙日圆
在椭圆＋＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.
设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为
原点.
性质1：PA⊥PB；
性质2：kOP·kAB＝－；
性质3：kOA·kPA＝－，kOB·kPB＝－(垂径定理的推广)；
性质4：PO平分椭圆的切点弦AB；
性质5：延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB；
性质6：S△AOB的最大值为，S△AOB的最小值为；
性质7：S△APB的最大值为，S△APB的最小值为.
典例(2025·济南质检节选)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且短轴的一个端点到焦点的距离为.
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
知识拓展
1.圆锥曲线的切线问题常用方法有：
(1)几何法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题；
(2)代数法：比如涉及椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据Δ＝0来求解；比如涉及抛物线的切线问题，有时也可以通过求导求解；
(3)结论法(适用于小题)：
①圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)处的切线方程是x0x＋y0y＝r2；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是x0x＋y0y＝r2.
②椭圆＋＝(a>b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是＋＝1；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是＋＝1.
③双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是－＝1；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是－＝1.
④抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0)；其外一点P(x0，y0)所引两条切线方程是y0y＝p(x＋x0).
注：替换的规则是x2→x0x，y2→y0y，x→，y→.
2.圆锥曲线的光学性质
(1)抛物线的光学性质：如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.
(2)椭圆的光学性质：如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝.
(3)双曲线的光学性质：如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点，如图6所示，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝.
题型一 切线问题
例1已知椭圆方程为＋＝1，求该椭圆在点P处的切线方程.
思维建模求切线的两种情况
(1)在曲线上某点的切线，用几何法(圆)、联立方程组法、导数法以及结论法可进行求解，其中结论适用于小题，解答时需要证明.
(2)过曲线上某点的切线，一般用联立方程组，判别式法来求斜率，但需讨论斜率的存在与否.
训练1(1)(2025·青岛调研)圆x2＋y2＝r2在点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类似地，可以求得椭圆＋＝1在点(2，1)处的切线方程为________.
(2)过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________.
题型二 切点弦问题
例2(2025·成都诊断)已知点P是直线l：y＝－2上一个动点，过点P作轨迹E：x2＝8y的两条切线，焦点为F，切点分别为A，B.
求证：(1)直线AB过定点；
(2)∠PFA＝∠PFB.
思维建模1.圆的切点弦方程可由以圆外点为圆心，切线长为半径的圆与该圆方程相减求得.
2.切点弦问题常涉及弦方程、弦长、弦过定点以及最值、范围问题.
训练2(1)过点M(0，－4)作圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()
A.2x－y＋3＝0B.x－7y＋18＝0
C.2x－5y＋5＝0D.x＋5y＋5＝0
(2)(2025·杭州调研)已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为()
A.3B.2
C.1D.0
题型三 光学性质的应用
例3(1)(2025·南昌质检)如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，且|PF1|＝1，过点P与直线l垂直的直线l′与椭圆的长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝()
A.∶B.1∶
C.1∶3D.1∶
(2)(2025·青岛调研)双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后被反射，则入射光线与反射光线的夹角余弦值是________.
思维建模光学性质问题往往与圆锥曲线中的新定义问题或者结合生活情境问题进行考查，教材中将其作为阅读内容，实际上圆锥曲线的光学性质与切线等问题联系密切，是高考热点问题.
训练3(1)(2025·石家庄调研)双曲线有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点.已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线F2P被双曲线反射后，反射光线为PE，若双曲线C在点P处的切线交x轴于点I，且|IF1|＝，则△PF1F2的周长为________.
(2)抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线.若一条平行于x轴的光线从M(3，1)射出，经抛物线y2＝4x上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为________.
椭圆中的蒙日圆
在椭圆＋＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.
设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为
原点.
性质1：PA⊥PB；
性质2：kOP·kAB＝－；
性质3：kOA·kPA＝－，kOB·kPB＝－(垂径定理的推广)；
性质4：PO平分椭圆的切点弦AB；
性质5：延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB；
性质6：S△AOB的最大值为，S△AOB的最小值为；
性质7：S△APB的最大值为，S△APB的最小值为.
典例(2025·济南质检节选)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且短轴的一个端点到焦点的距离为.
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；